漢克爾變換

Template:Unreferenced 汉克尔变换是指对任何给定函数 $f(r)$ 以第一类贝塞尔函数 $J_{\nu }(kr)$ 作无穷级数展开，贝塞尔函数 $J_{\nu }(kr)$ 的阶数不变，级数各项 $k$ 作变化。各项 $J_{\nu }(kr)$ 前系数 $F_{\nu }$ 构成了变换函数。对于函数 $f(r)$, 其 $\nu$ 阶贝塞尔函数的汉克尔变换（$k$ 为自变量）为

$F_{\nu }(k)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(r)J_{\nu }(kr)rdr$

其中，$J_{\nu }$ 为阶数为 $\nu$ 的第一类贝塞尔函数，$\nu \ge -1/2$。对应的，逆汉克尔变换 $F_{\nu }(k)$ 定义为

$f(r)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)kdk$

汉克尔变换是一种积分变换，最早由德国数学家赫尔曼·汉克尔提出，又被称为傅立叶-贝塞尔变换。

正交性

贝塞尔函数构成 正交函数族 权重因子为 r:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{J}_{\nu }(kr)J_{\nu }(k^{\prime }r)r\mathrm{d}r=\frac{\delta (k-k^{\prime })}{k}$

其中 $k$ 与 $k^{\prime }$ 大于零。

与其他函数变换的关系

傅立叶变换

零阶汉克尔函数即为圆对称函数的二维傅立叶变换。给定二维函数 $F(𝒓)$ ，径向矢量为 $𝒓$，其傅立叶变换为

$F(𝒌)=\iint f(𝒓)e^{i𝒌\cdot 𝒓}d𝒓$

不失一般性，选择极坐标 $(r,\theta )$ ，使得矢量 $𝒌$ 方向指向 $\theta =0$ 。极坐标下的傅立叶变换写作

$F(𝒌)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(r,\theta )e^{ikr\cos \theta }rdrd\theta$

其中 $\theta$ 为矢量 $𝒌$ 与 $𝒓$ 间夹角。如果函数 $f$ 恰为圆对称不依赖角变量 $\theta$ ，$f\equiv f(r)$ ，对角度 $\theta$ 的积分可以提出，傅立叶变换写作

$F(𝒌)=F(k)=2\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(r)J_0(kr)rdr$

此式恰为 $f(r)$ 的零阶汉克尔变换的 $2\pi$ 倍。

常见汉克尔变换函数对

$f(r)$	$F_0(k)$
$1$	$\delta (k)/k$
$1/r$	$1/k$
$r$	$-1/k^3$
$r^3$	$9/k^5$
$r^m$	$\frac{2^{m+1}\mathrm{\Gamma }(m/2+1)}{k^{m+2}\mathrm{\Gamma }(-m/2)}$ for -2<Re(m)<-1/2
$\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}}$	$\frac{e^{-k|z|}}{k}=\sqrt{\frac{2|z|}{\pi k}}{K}_{-1/2}(k|z|)$
$\frac{1}{r^2+z^2}$	$K_0(kz)$, $z$可为复数
$e^{iar}/r$	$i/\sqrt{a^2-k^2}(a>0,k<a)$
$$	$1/\sqrt{k^2-a^2}(a>0,k>a)$
$e^{-a^2{r}^2/2}$	$\frac{e^{-k^2/2a^2}}{a^2}$
$-r^{2}f(r)$	$\frac{{\mathrm{d}}^2{F}_0}{\mathrm{d}{k}^2}+\frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}{F}_0}{\mathrm{d}k}$
$f(r)$	$F_{\nu }(k)$
$r^s$	$\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(2+\nu +s))}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(\nu -s))}\frac{2^{s+1}}{k^{s+2}}$
$r^{\nu -2s}\mathrm{\Gamma }(s,r^{2}h)$	$\frac{1}{2}{\left(\frac{k}{2}\right)}^{2s-\nu -2}\gamma (1-s+\nu ,\frac{k^2}{4h})$
$e^{-r^2}{r}^{\nu }U(a,b,r^2)$	$\frac{\mathrm{\Gamma }(2+\nu -b)}{2\mathrm{\Gamma }(2+\nu -b+a)}{\left(\frac{k}{2}\right)}^{\nu }{e}^{-\frac{k^2}{4}}{}_1{F}_1(a,2+a-b+\nu ,\frac{k^2}{4})$
$-r^{2}f(r)$	$\frac{{\mathrm{d}}^2{F}_{\nu }}{\mathrm{d}{k}^2}+\frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}{F}_{\nu }}{\mathrm{d}k}-\frac{{\nu }^2}{k^2}{F}_{\nu }$

参见条目

• 傅里叶变换