傅里叶正弦、余弦变换

在数学中，傅里叶正弦和余弦变换是傅里叶变换不使用复数的表达形式。它们最初被约瑟夫·傅里叶使用并仍在某些应用中有所擅长，如信号处理和概率统计。

定义

方程 Template:Math 的傅里叶正弦变换，有时也被表示为${\hat{f}}^s$ or ${ℱ}_s(f)$，有

$2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\sin (2\pi \omega t)dt.$

或

$\sqrt{\frac{2}{\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\sin (\omega t)dt.$

如果 Template:Mvar 代表时间，那么 Template:Mvar 就是单位时间周期内的频率，但抽象来说，它们可以是互相关联的任何一对变量。

这个变换必须是频率的奇函数，即对所有的 Template:Mvar：

${\hat{f}}^s(\omega )=-{\hat{f}}^s(-\omega ).$

傅里叶变换中的数值因子仅由它们的乘积定义。为了让傅里叶逆变换公式不包含任何数值因子，因子 2 出现因为对正弦函数有 Template:Math norm of $\frac{1}{\sqrt{2}}.$

方程 Template:Math 的傅里叶余弦变换，有时也被表示为${\hat{f}}^c$或${ℱ}_c(f)$，有

$2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cos (2\pi \omega t)dt.$

这个变换必须是频率的偶函数，即对所有的 Template:Mvar：

${\hat{f}}^c(\omega )={\hat{f}}^c(-\omega ).$

一些著者仅定义了 Template:Mvar 的偶函数的余弦变换，在这种情形下正弦变换为 0。因为余弦也是偶函数，所以可以使用更简单的公式：

$4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cos (2\pi \omega t)dt.$

相似地，如果 Template:Math 是奇函数，那么余弦变换就为 0 且正弦变换简化为：

$4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\sin (2\pi \omega t)dt.$

傅里叶逆变换

按照通常的假设，原始方程 Template:Math 可以从变换形式中复原。即 Template:Math 和它的两种变换都是绝对可积的。更多不同的假设，参见傅里叶逆变换。

逆公式是：

$f(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\hat{f}}^c\cos (2\pi \omega t)d\omega +\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\hat{f}}^s\sin (2\pi \omega t)d\omega ,$

它有一个优点是所有频率都是正数且所有量都是实数。如果省略变换中的因子 2，那么逆公式通常写为正和负频率的的积分。

用余弦的变换公式，可以再表示为：

$\frac{\pi }{2}(f(x+0)+f(x-0))=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cos (\omega (t-x))dtd\omega ,$

这里 Template:Math 表示 Template:Math 当 Template:Mvar 从上方趋近于零的一边极限。且 Template:Math 表示 Template:Math 当 Template:Mvar 从下方趋近于零一边的极限。

如果原始方程 Template:Math 是偶函数，那么正弦变换就为零；如果 Template:Math 是奇函数，那么余弦变换就为零。在任何一种可能中，逆变换方程都可以化简。

与複指数的关系

如今用得更为广泛的傅里叶变换的形式是

$\begin{array}{cc}\hat{f}(\nu )& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-2\pi i\nu t}dt\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)(\cos (2\pi \nu t)-i\sin (2\pi \nu t))dt& & \text{Euler's Formula}\\ & =(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cos (2\pi \nu t)dt)-i(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\sin (2\pi \nu t)dt)\\ & =\frac{1}{2}{\hat{f}}^c(\nu )-\frac{i}{2}{\hat{f}}^s(\nu )\end{array}$

相关条目

• 离散余弦变换
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参考

• Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, pp. 189, 211