狄利克雷η函数

复平面上的狄利克雷η函数 $\eta (s)$ 。用颜色来编码点 $s$的值$\eta (s)$ ，强烈的色彩表示接近零的值，色度值表示值的辐角。

在数学的解析数论领域，狄利克雷η函数定义为：

$\eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s)$

其中 ζ 是黎曼ζ函數。但η函数也用常来定义黎曼ζ函數。 对实部为正数的复数s，也可定义为狄利克雷级数表达式形式:

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}.$

表达式仅当实部为正数时收敛。对任意复数，该表达式是一个阿贝尔和，可定义为一个整函数，并由此可知ζ函數是一个极点在s = 1的单极点亚纯函数。

等价定义为：

$\eta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^s}{\exp (x)+1}\frac{dx}{x}$

定义在复平面上实部为正的区域，该定义形式是一个Mellin变换。

G·H·哈代给出一个函数方程的简单证明：

$\eta (-s)=2{\pi }^{-s-1}s\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(s)\eta (s+1).$

因此能将其扩展到整个复数域。

数值算法

大多数交错级数的串行加速技术都可应用在η函数的求值上。一个特别简单，合理的方法是应用交错序列的欧拉变换，得到：

$\eta (s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n+1}}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{(k+1{)}^s}.$

注意第二个求和里面是前向差分。

Borwein方法

彼得·波温（Peter Borwein）使用包含切比雪夫多项式的近似值用来得到η函数的高效求值方法。

如果：

$d_k=n\sum _{i=0}^k\frac{(n+i-1)!4^i}{(n-i)!(2i)!}$

则：

$\eta (s)=-\frac{1}{d_n}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^k(d_k-d_n)}{(k+1{)}^s}+{\gamma }_n(s),$

当$\mathrm{\Re }(s)\ge \frac{1}{2}$时，误差项 γ_n范围：

$|{\gamma }_n(s)|\le \frac{3}{(3+\sqrt{8}{)}^n}(1+2|\mathrm{\Im }(s)|)\exp (\frac{\pi }{2}|\mathrm{\Im }(s)|).$

误差分布中的系数$3+\sqrt{8}\approx 5.8$显示Borwein级数随着n的增加而很快集中于一点。

特殊值

• η(0) = ¹⁄₂, 格兰迪级数（ 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·）的阿贝尔和。
• η(−1) = ¹⁄₄, 1-2+3-4+…的阿贝尔和。
• 对于大于1的整数k ，如果B_k是第k个伯努利数，那么

  $\eta (1-k)=\frac{2^k-1}{k}{B}_k.$

同样的:

$\eta (1)=\ln 2$, 这是交错调和级数

$\eta (2)=\frac{{\pi }^2}{12}$

$\eta (4)=\frac{7{\pi }^4}{720}$

$\eta (6)=\frac{31{\pi }^6}{30240}$

$\eta (8)=\frac{127{\pi }^8}{1209600}$

$\eta (10)=\frac{511{\pi }^{10}}{6842880}$

$\eta (12)=\frac{1414477{\pi }^{12}}{1307674368000}$

自变量为正偶数的函数生成式为：

$\eta (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}{\pi }^{2n}(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}.$

参考资料

• Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function Template:Wayback, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.
• Xavier Gourdon and Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function Template:Wayback, Numbers, constants and computation (2003)
• Borwein, P., [1] Template:Wayback
• Template:Cite book