爱因斯坦求和约定

Template:NoteTA 在數學裏，特別是將線性代數套用到物理時，愛因斯坦求和約定（Template:Lang）是一種標記的約定，又稱為愛因斯坦標記法（Template:Lang），在處理關於坐標的方程式時非常有用。這約定是由阿爾伯特·愛因斯坦於1916年提出的^[1]。後來，愛因斯坦與友人半開玩笑地說^[2]：「這是數學史上的一大發現，若不信的話，可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」

按照愛因斯坦求和約定，當一個單獨項目內有標號變數出現兩次，一次是上標，一次是下標時，則必須總和所有這單獨項目的可能值。通常而言，標號的標值為1、2、3（代表維度為三的歐幾里得空間），或0、1、2、3（代表維度為四的時空或閔可夫斯基時空）。但是，標值可以有任意值域，甚至（在某些應用案例裏）無限集合。這樣，在三維空間裏，

y = c_{i} x^{i}

的意思是

y = \sum_{i = 1}^{3} c_{i} x^{i} = c_{1} x^{1} + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3}

。

請特別注意，上標並不是指數，而是標記不同坐標。例如，在直角坐標系裏， $x^{1}$ 、 $x^{2}$ 、 $x^{3}$ 分別表示 $x$ 坐標、 $y$ 坐標、 $z$ 坐標，而不是 $x$ 、 $x$ 的平方、 $x$ 的立方。

簡介

愛因斯坦標記法的基本點子是餘向量與向量可以形成純量：

y = c_{1} x^{1} + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + \dots + c_{n} x^{n}

。

通常會將這寫為求和公式形式：

y = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} x^{i}

。

在基底變換之下，純量保持不變。當基底改變時，一個向量的線性變換可以用矩陣來描述，而餘向量的線性變換則需用其逆矩陣來描述。這樣的設計為的是要保證，不論基底為何，伴隨餘向量的線性函數（即上述總和）保持不變。由於只有總和不變，而總和所涉及的每一個項目都有可能會改變，所以，愛因斯坦提出了這標記法，重複標號表示總和，不需要用到求和符號：

y = c_{i} x^{i}

採用愛因斯坦標記法，餘向量都是以下標來標記，而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與指數混淆在一起，大多數涉及的方程式都是線性，不超過變數的一次方。在方程式裏，單獨項目內的標號變數最多只會出現兩次，假若多於兩次，或出現任何其它例外，則都必須特別加以說明，才不會造成含意混淆不清。

向量的表示

在線性代數裏，採用愛因斯坦標記法，可以很容易的分辨向量和餘向量（又稱為1-形式）。向量的分量是用上標來標明，例如， $a^{i}$ 。給予一個 $n$ 維向量空間 $𝕍$ 和其任意基底 $𝐞 = (𝐞_{1}, 𝐞_{2}, \dots, 𝐞_{n})$ （可能不是標準正交基），那麼，向量 $𝐚$ 表示為

𝐚 = a^{i} 𝐞_{i} = [\begin{matrix} a^{1} \\ a^{2} \\ ⋮ \\ a^{n} \end{matrix}]

。

餘向量的分量是用下標來標明，例如， $α_{i}$ 。給予 $𝕍$ 的對偶空間 $𝕍^{*}$ 和其任意基底 $ω = (ω^{1}, ω^{2}, \dots, ω^{n})$ （可能不是標準正交基），那麼，餘向量 $α$ 表示為

α = α_{i} ω^{i} = [\begin{matrix} α_{1} & α_{2} & \dots & α_{n} \end{matrix}]

。

採用向量的共變和反變術語，上標表示反變向量（向量）。對於基底的改變，從 $𝐞$ 改變為 $\overline{𝐞}$ ，反變向量會變換為

{\overline{a}}^{i} = \frac{\partial {\overline{x}}^{i}}{\partial x^{j}} a^{j}

；

其中， ${\overline{a}}^{i}$ 是改變基底後的向量的分量， ${\overline{x}}^{i}$ 是改變基底後的坐標， $x^{j}$ 是原先的坐標，

下標表示共變向量（餘向量）。對於基底的改變，從 $ω$ 改變為 $\overline{ω}$ ，共變向量會會變換為

{\overline{α}}_{i} = \frac{\partial x^{i}}{\partial {\overline{x}}^{j}} α_{j}

。

一般運算

矩陣 $A$ 的第 $m$ 橫排，第 $n$ 豎排的元素，以前標記為 $A_{m n}$ ；現在改標記為 $A_{n}^{m}$ 。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下：

內積

給予向量 $𝐚$ 和餘向量 $α$ ，其向量和餘向量的內積為純量：

𝐚 \cdot α = a_{i} α^{i}

。

向量乘以矩陣

給予矩陣 $A$ 和向量 $𝐚$ ，它們的乘積是向量 $𝐛$ ：

b^{i} = A_{j}^{i} a^{j}

。

類似地，矩陣 $A$ 的轉置矩陣 $B = A^{T}$ ，其與餘向量 $α$ 的乘積是餘向量 $β$ ：

β_{j} = B_{j}^{i} α_{i} = α_{i} B_{j}^{i}

。

矩陣乘法

矩陣乘法表示為

C_{k}^{i} = A_{j}^{i} B_{k}^{j}

。

這公式等價於較冗長的普通標記法：

C_{i k} = (A B)_{i k} = \sum_{j = 1}^{N} A_{i j} B_{j k}

。

跡

給予一個方塊矩陣 $A_{j}^{i}$ ，總和所有上標與下標相同的元素 $A_{i}^{i}$ ，可以得到這矩陣的跡 $t$ ：

t = A_{i}^{i}

。

外積

M維向量 $𝐚$ 和N維餘向量 $α$ 的外積是一個M×N矩陣 $A$ ：

A = 𝐚 α

。

採用愛因斯坦標記式，上述方程式可以表示為

A_{j}^{i} = a^{i} α_{j}

由於 $i$ 和 $j$ 代表兩個不同的標號，在這案例，值域分別為M和N，外積不會除去這兩個標號，而使這兩個標號變成了新矩陣 $A$ 的標號。

向量的內積

一般力學及工程學會用互相標準正交基的基底向量 $\hat{𝐢}$ 、 $\hat{𝐣}$ 及 $\hat{𝐤}$ 來描述三維空間的向量。

𝐮 = u_{x} \hat{𝐢} + u_{y} \hat{𝐣} + u_{z} \hat{𝐤}

。

把直角坐標系的基底向量 $\hat{𝐢}$ 、 $\hat{𝐣}$ 及 $\hat{𝐤}$ 寫成 ${\hat{𝐞}}_{1}$ 、 ${\hat{𝐞}}_{2}$ 及 ${\hat{𝐞}}_{3}$ ，所以一個向量可以寫成：

𝐮 = u_{1} {\hat{𝐞}}_{1} + u_{2} {\hat{𝐞}}_{2} + u_{3} {\hat{𝐞}}_{3} = \sum_{i = 1}^{3} u_{i} {\hat{𝐞}}_{i}

。

根據愛因斯坦求和约定，若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標，則此項代表著所有可能值之總和：

𝐮 = u^{i} {\hat{𝐞}}_{i} = \sum_{i = 1}^{3} u^{i} {\hat{𝐞}}_{i}

。

由於基底是標準正交基， $𝐮$ 的每一個分量 $u^{i} = u_{i}$ ，所以，

𝐮 = \sum_{i = 1}^{3} u_{i} {\hat{𝐞}}_{i}

。

兩個向量 $𝐮$ 與 $𝐯$ 的内积是

𝐮 \cdot 𝐯 = (u^{i} {\hat{𝐞}}_{i}) \cdot (v^{j} {\hat{𝐞}}_{j}) = (\sum_{i = 1}^{3} u_{i} {\hat{𝐞}}_{i}) \cdot (\sum_{j = 1}^{3} v_{j} 𝐞_{j}) = \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} u_{i} v_{j} ({\hat{𝐞}}_{i} \cdot {\hat{𝐞}}_{j})

。

由於基底是標準正交基，基底向量相互正交歸一：

{\hat{𝐞}}_{i} \cdot {\hat{𝐞}}_{j} = δ_{i j}

；

其中， $δ_{i j}$ 就是克羅內克函數。當 $i = j$ 時，則 $δ_{i j} = 1$ ，否則 $δ_{i j} = 0$ 。

邏輯上，在方程式內的任意項目，若遇到了克羅內克函數 $δ_{i j}$ ，就可以把方程式中的標號 $i$ 轉為 $j$ 或者把標號 $j$ 轉為 $i$ 。所以，

𝐮 \cdot 𝐯 = \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} u_{i} v_{j} δ_{i j} = \sum_{i = 1}^{3} u_{i} v_{i}

。

向量的叉積

採用同樣的標準正交基 ${\hat{𝐞}}_{1}$ 、 ${\hat{𝐞}}_{2}$ 及 ${\hat{𝐞}}_{3}$ ，兩個向量 $𝐮$ 與 $𝐯$ 的叉積，以方程式表示為

𝐮 \times 𝐯 = (u^{j} {\hat{𝐞}}_{j}) \times (v^{k} {\hat{𝐞}}_{k}) = (\sum_{j = 1}^{3} u_{j} {\hat{𝐞}}_{j}) \times (\sum_{k = 1}^{3} v_{k} {\hat{𝐞}}_{k})

= \sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} u_{j} v_{k} (𝐞_{j} \times 𝐞_{k}) = \sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} u_{j} v_{k} ϵ_{i j k} 𝐞_{i}

。

注意到

{\hat{𝐞}}_{j} \times {\hat{𝐞}}_{k} = ϵ_{i j k} {\hat{𝐞}}_{i}

；

其中，張量 $ϵ_{i j k}$ 是列维-奇维塔符号，定義為

$ϵ_{i j k} = ϵ^{i j k} \overset{d e f}{=} {\begin{matrix} + 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}$	，若 $(i, j, k) =$ ${1, 2, 3}$ 、 ${2, 3, 1}$ 或 ${3, 1, 2}$ （偶置換）
	，若 $(i, j, k) =$ ${3, 2, 1}$ 、 ${2, 1, 3}$ 或 ${1, 3, 2}$ （奇置換）
	，若 $i = j$ 、 $j = k$ 或 $i = k$

所以，

𝐮 \times 𝐯 = (u^{2} v^{3} - u^{3} v^{2}) {\hat{𝐞}}_{1} + (u^{3} v^{1} - u^{1} v^{3}) {\hat{𝐞}}_{2} + (u^{1} v^{2} - u^{2} v^{1}) {\hat{𝐞}}_{3}

。

設定 $𝐰 = 𝐮 \times 𝐯$ ，那麼，

w^{i} {\hat{𝐞}}_{i} = ϵ^{i j k} u_{j} v_{k} {\hat{𝐞}}_{i}

。

所以，

w^{i} = ϵ^{i j k} u_{j} v_{k}

。

向量的共變分量和反變分量

在歐幾里得空間 $𝕍$ 裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有向量 $𝐛$ ，通過下述方程式，向量 $𝐚$ 唯一地確定了餘向量 $α$ ：

α (𝐛) = 𝐚 \cdot 𝐛

。

逆過來，通過上述方程式，每一個餘向量 $α$ 唯一地確定了向量 $𝐚$ 。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予 $𝕍$ 的一個基底 $𝔣 = (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})$ ，則必存在一個唯一的對偶基底 $𝔣^{♯} = (Y^{1}, Y^{2}, \dots, Y^{n})$ ，滿足

Y^{i} \cdot X_{j} = δ_{j}^{i}

；

其中，張量 $δ_{j}^{i}$ 是克羅內克函數。

以這兩種基底，任意向量 $𝐚$ 可以寫為兩種形式

\begin{matrix} 𝐚 & = \sum_{i} a^{i} [𝔣] X_{i} = 𝔣 𝐚 [𝔣] \\ = \sum_{i} a_{i} [𝔣] Y^{i} = 𝔣^{♯} 𝐚 [𝔣^{♯}] \end{matrix}

；

其中， $a^{i} [𝔣]$ 是向量 $𝐚$ 對於基底 $𝔣$ 的反變分量， $a_{i} [𝔣]$ 是向量 $𝐯$ 對於基底 $𝔣$ 的共變分量，

歐幾里得空間

將向量 $𝐚$ 投影於坐標軸 $𝐞^{i}$ ，可以求得其反變分量 $a^{i}$ ；將向量 $𝐚$ 投影於坐標曲面的法線 $𝐞_{i}$ ，可以求得其共變分量 $a_{i}$ 。

在歐幾里得空間 $ℝ^{3}$ 裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底，其基底向量為 $𝐞_{1}$ 、 $𝐞_{2}$ 、 $𝐞_{3}$ ，就可以計算其對偶基底的基底向量：

𝐞^{1} = \frac{𝐞_{2} \times 𝐞_{3}}{τ}; 𝐞^{2} = \frac{𝐞_{3} \times 𝐞_{1}}{τ}; 𝐞^{3} = \frac{𝐞_{1} \times 𝐞_{2}}{τ}

；

其中， $τ = 𝐞_{1} \cdot (𝐞_{2} \times 𝐞_{3})$ 是基底向量 $𝐞_{1}$ 、 $𝐞_{2}$ 、 $𝐞_{3}$ 共同形成的平行六面體的體積。

反過來計算，

𝐞_{1} = \frac{𝐞^{2} \times 𝐞^{3}}{τ^{'}}; 𝐞_{2} = \frac{𝐞^{3} \times 𝐞^{1}}{τ^{'}}; 𝐞_{3} = \frac{𝐞^{1} \times 𝐞^{2}}{τ^{'}}

；

其中， $τ^{'} = 𝐞^{1} \cdot (𝐞^{2} \times 𝐞^{3}) = 1 / τ$ 是基底向量 $𝐞^{1}$ 、 $𝐞^{2}$ 、 $𝐞^{3}$ 共同形成的平行六面體的體積。

雖然 $𝐞_{i}$ 與 $𝐞^{j}$ 並不相互標準正交，它們相互對偶：

𝐞_{i} \cdot 𝐞^{j} = δ_{i}^{j}

。

雖然 $𝐞^{i}$ 與 $𝐞_{j}$ 並不相互標準正交，它們相互對偶：

𝐞^{i} \cdot 𝐞_{j} = δ_{j}^{i}

。

這樣，任意向量 $𝐚$ 的反變分量為

a^{1} = 𝐚 \cdot 𝐞^{1}; a^{2} = 𝐚 \cdot 𝐞^{2}; a^{3} = 𝐚 \cdot 𝐞^{3}

。

類似地，共變分量為

a_{1} = 𝐚 \cdot 𝐞_{1}; a_{2} = 𝐚 \cdot 𝐞_{2}; a_{3} = 𝐚 \cdot 𝐞_{3}

。

這樣， $𝐚$ 可以表示為

𝐚 = a_{i} 𝐞^{i} = a_{1} 𝐞^{1} + a_{2} 𝐞^{2} + a_{3} 𝐞^{3}

，

或者，

𝐚 = a^{i} 𝐞_{i} = a^{1} 𝐞_{1} + a^{2} 𝐞_{2} + a^{3} 𝐞_{3}

。

綜合上述關係式，

𝐚 = (𝐚 \cdot 𝐞_{i}) 𝐞^{i} = (𝐚 \cdot 𝐞^{i}) 𝐞_{i}

。

向量 $𝐚$ 的共變分量為

a_{i} = 𝐚 \cdot 𝐞_{i} = (a^{j} 𝐞_{j}) \cdot 𝐞_{i} = (𝐞_{j} \cdot 𝐞_{i}) a^{j} = g_{j i} a^{j}

；

其中， $g_{j i} = 𝐞_{j} \cdot 𝐞_{i}$ 是度規張量。

向量 $𝐚$ 的反變分量為

a^{i} = 𝐚 \cdot 𝐞^{i} = (a_{j} 𝐞^{j}) \cdot 𝐞^{i} = (𝐞^{j} \cdot 𝐞^{i}) a_{j} = g^{j i} a_{j}

;

其中， $g^{j i} = 𝐞^{j} \cdot 𝐞^{i}$ 是共軛度規張量。

共變分量的標號是下標，反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變分量和反變分量，所有的標號都可以用下標來標記。

抽象定義

思考維度為 $n$ 的向量空間 $𝕍$ 。給予一個可能不是標準正交基的基底 $(𝐞_{1}, 𝐞_{2}, \dots, 𝐞_{n})$ 。那麼，在 $𝕍$ 內的向量 $𝐯$ ，對於這基底，其分量為 $v^{1}$ 、 $v^{2}$ 、... $v^{n}$ 。以方程式表示，

𝐯 = v^{i} 𝐞_{i} .

。

在這方程式右手邊，標號 $i$ 在同一項目出現了兩次，一次是上標，一次是下標，因此，從 $i$ 等於 $1$ 到 $n$ ，這項目的每一個可能值都必須總和在一起。

愛因斯坦約定的優點是，它可以應用於從 $𝕍$ 用張量積和對偶性建立的向量空間。例如， $𝕍 \otimes 𝕍$ ， $𝕍$ 與自己的張量積，擁有由形式為 $𝐞_{i j} = 𝐞_{i} \otimes 𝐞_{j}$ 的張量組成的基底。任意在 $𝕍 \otimes 𝕍$ 內的張量 $𝐓$ 可以寫為

𝐓 = T^{i j} 𝐞_{i j}

。

向量空間 $𝕍$ 的對偶空間 $𝕍^{*}$ 擁有基底 $(𝐞^{1}, 𝐞^{2}, \dots, 𝐞^{n})$ ，遵守規則

𝐞^{i} \cdot 𝐞_{j} = δ_{j}^{i}

；

其中， $δ_{j}^{i}$ 是克羅內克函數。

範例

為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定，在這裏給出幾個簡單的例子。

思考四維時空，標號的值是從0到3。兩個張量，經過張量縮併（Template:Lang）運算後，變為一個純量：

c = a^{μ} b_{μ} = a^{0} b_{0} + a^{1} b_{1} + a^{2} b_{2} + a^{3} b_{3}

。

方程式的右手邊有兩個項目：

c^{ν} = a^{μ ν} b_{μ} + f^{ν} = a^{0 ν} b_{0} + a^{1 ν} b_{1} + a^{2 ν} b_{2} + a^{3 ν} b_{3} + f^{ν}

。

由於運算結果與標號

μ

和

ν

無關，可以被其它標號隨意更換，所以，

μ

和

ν

稱為傀標號。

自由標號是沒有被總和的標號。自由標號應該出現於方程式的每一個項目裏，而且在每一個項目裏只出現一次。在上述方程式裏，

ν

是自由標號，每一個項目都必須有同樣的自由標號。注意到在項目

a^{μ ν} b_{μ}

裏，標號

μ

出現了兩次，一次是上標，一次是下標，所以，這項目的所有可能值都必須總和在一起。稱

μ

為求和標號。

思考在黎曼空間的弧線元素長度 $d s$ ：

d s^{2} = g_{i j} d x^{i} d x^{j} = g_{0 j} d x^{0} d x^{j} + g_{1 j} d x^{1} d x^{j} + g_{2 j} d x^{2} d x^{j} + g_{3 j} d x^{3} d x^{j}

。請將這兩種標號跟自由變量和約束變量相比較。

進一步擴展，

d s^{2} = g_{00} d x^{0} d x^{0} + g_{10} d x^{1} d x^{0} + g_{20} d x^{2} d x^{0} + g_{30} d x^{3} d x^{0}

+ g_{01} d x^{0} d x^{1} + g_{11} d x^{1} d x^{1} + g_{21} d x^{2} d x^{1} + g_{31} d x^{3} d x^{1}

+ g_{02} d x^{0} d x^{2} + g_{12} d x^{1} d x^{2} + g_{22} d x^{2} d x^{2} + g_{32} d x^{3} d x^{2}

+ g_{03} d x^{0} d x^{3} + g_{13} d x^{1} d x^{3} + g_{23} d x^{2} d x^{3} + g_{33} d x^{3} d x^{3}

。

注意到

d s^{2}

是

d s

乘以

d s

，是

(d s)^{2}

，而不是

(s^{2})

坐標的微小元素。當有疑慮時，可以用括號來分歧義。

參閱

參考文獻

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外部連結

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Template:阿爾伯特·愛因斯坦

[Ein1916-1] Template:Citation

[2] Template:Citation

[1]

[2]

爱因斯坦求和约定

目录

簡介

向量的表示

一般運算

內積

向量乘以矩陣

矩陣乘法

跡

外積

向量的內積

向量的叉積

向量的共變分量和反變分量

歐幾里得空間

抽象定義

範例

參閱

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一般運算

內積

向量乘以矩陣

矩陣乘法

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