张量积

在数学中，张量积，记为 $\otimes$，可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。

例子:

$𝐛\otimes 𝐚\to \left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\\ b_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1{b}_1& a_2{b}_1& a_3{b}_1\\ a_1{b}_2& a_2{b}_2& a_3{b}_2\\ a_1{b}_3& a_2{b}_3& a_3{b}_3\\ a_1{b}_4& a_2{b}_4& a_3{b}_4\end{array}\right]$

结果的秩为2、维数为 4×3 = 12。

这里的秩指的是“张量秩”（所需指标数），而维数计算在结果数组(阵列)中自由度的数目；矩阵的秩是 2。

代表情况是任何两个被当作矩阵的矩形数组的克罗内克积。在同维数的两个向量之间的张量积的特殊情况是并矢积。

两个张量的张量积

有两个（或更多）张量积的分量的一般公式。例如，如果 U 和 V 是秩分别为 n 和 m 的两个协变张量，则它们的张量积的分量给出为

$(V\otimes U{)}_{i_1{i}_2\dots i_{m+n}}=V_{i_1{i}_2{i}_3\dots i_n}{U}_{i_{n+1}{i}_{n+2}\dots i_{n+m}}$。

所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。

注意在张量积中，因子 V 消耗前 rank(V) 個指标，而因子 U 再消耗 rank(U) 個指标，所以

$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(V\otimes U)=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(V)+\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(U)$

例子

设 U 是类型 (1,1) 的张量，带有分量 U^α_β；并设 V 是类型 (1,0) 的张量，带有分量 V^γ。则

$U^{\alpha }{}_{\beta }{V}^{\gamma }=(U\otimes V{)}^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }$

而

$V^{\mu }{U}^{\nu }{}_{\sigma }=(V\otimes U{)}^{\mu \nu }{}_{\sigma }$。

张量积继承它的因子的所有指标。

两个矩阵的克罗内克积

对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积，用来明确结果有特定块结构在其上，其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵 $U$ 和 $V$:

$U\otimes V=\left[\begin{array}{ccc}{u}_{11}V& u_{12}V& \cdots \\ u_{21}V& u_{22}V\\ ⋮& & \ddots \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{u}_{11}{v}_{11}& u_{11}{v}_{12}& \cdots & u_{12}{v}_{11}& u_{12}{v}_{12}& \cdots \\ u_{11}{v}_{21}& u_{11}{v}_{22}& & u_{12}{v}_{21}& u_{12}{v}_{22}\\ ⋮& & \ddots \\ u_{21}{v}_{11}& u_{21}{v}_{12}\\ u_{21}{v}_{21}& u_{21}{v}_{22}\\ ⋮\end{array}\right]$。

多重线性映射的张量积

给定多重线性映射 $f(x_1,\dots ,x_k)$ 和 $g(x_1,\dots ,x_m)$ 它们的张量积是多重线性函数

$(f\otimes g)(x_1,\dots ,x_{k+m})=f(x_1,\dots ,x_k)g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m})$

向量空间的张量积

在域 $K$ 上的两个向量空间 V 和 W 的张量积 $V\otimes W$ 有通过“生成元和关系”的方法的形式定义。在这些 $(v,w)$ 的关系下的等价类被叫做“张量”并指示为 $v\otimes w$。通过构造，可以证明在张量之间的多个恒等式并形成张量的代数。

要构造 $V\otimes W$，采用在 $K$ 之上带有基 $V\times W$ 的向量空间，并应用（因子化所生成的子空间）下列多线性关系:

• $(v_1+v_2)\otimes w=v_1\otimes w+v_2\otimes w$
• $v\otimes (w_1+w_2)=v\otimes w_1+v\otimes w_2$
• $cv\otimes w=v\otimes cw=c(v\otimes w)$

这里的 $v,v_i,w,w_i$ 是来自适当空间的向量，而 $c$ 来自底层域 $K$。

我们可以推出恒等式

$0v\otimes w=v\otimes 0w=0(v\otimes w)=0$，

零在 $V\otimes W$ 中。

结果的张量积 $V\otimes W$ 自身是向量空间，它可以直接通过向量空间公理来验证。分别给定 V 和 W 基 $\{v_i\}$ 和 $\{w_i\}$，形如 $v_i\otimes w_j$ 的张量形成 $V\otimes W$ 的基。张量积的维数因此是最初空间维数的积；例如 ${ℝ}^m\otimes {ℝ}^n$ 有维数 $mn$。

张量积的泛性质

张量积可以用泛性质来刻画。考虑通过双线性映射 φ 把笛卡尔积 V × W 嵌入到向量空间 X 的问题。张量积构造 V ⊗ W 与给出自

$\varphi (u,w)=u\otimes w$

的自然嵌入映射 φ : V × W → V ⊗ W 一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对(X, ψ)，这里的 X 是向量空间，而 ψ 是双线性映射 V × W → X，则存在一个唯一的线性映射

$T:V\otimes W\to X$

使得

$\psi =T\circ \varphi$。

假定这个泛性质，张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。

直接推论是从 V × W 到 X 的双线性映射

$B(V\times W,X)$

和线性映射

$L(V\otimes W,X)$

的同一性。它是 ψ 到 T 的自然同构映射。

希尔伯特空间的张量积

两个希尔伯特空间的张量积是另一个希尔伯特空间，其定义如下。

定义

设 $H_1$ 和 $H_2$ 是两个希尔伯特空间，分别带有内积 $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_1$ 和 $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_2$。构造 H₁ 和H₂ 的张量积$H_1\hat{\otimes }{H}_2$如下：

考虑他们的作为线性空间的张量积$H=H_1\otimes H_2$。$H_1$ 和 $H_2$上的内积自然地扩展到$H$上：

由内积的双线性（Bilinearity），只需定义

$⟨{\varphi }_1\otimes {\varphi }_2,{\psi }_1\otimes {\psi }_2⟩=⟨{\varphi }_1,{\psi }_1{⟩}_1\cdot ⟨{\varphi }_2,{\psi }_2{⟩}_2$

其中 ${\varphi }_1,{\psi }_1\in H_1$ 和 ${\varphi }_2,{\psi }_2\in H_2$ 即可。

现在$H$是一未必完备的内积空间。将$H$完备化，得到希尔伯特空间$H_1\hat{\otimes }{H}_2$，这就是 H₁ 和 H₂作为希尔伯特空间的张量积。在希尔伯特空间的范畴中，$H_1\hat{\otimes }{H}_2$具有如前所述的泛性质，即它是二者在该范畴内的乘积。

性质

如果 H₁ 和 H₂ 分别有正交基 {φ_k} 和 {ψ_l}，则 {φ_k ⊗ ψ_l} 是 H₁ ⊗ H₂ 的正交基。

与对偶空间的关系

在泛性质的讨论中，替代 X 为 V 和 W 的底层标量域生成空间 $(V\otimes W{)}^{\star }$（$V\otimes W$ 的对偶空间，包含在那个空间上的所有线性泛函），它自然的同一于在 $V\times W$ 上所有双线性函数的空间。换句或说，所有双线性泛函是在张量积上的泛函，反之亦然。

只要 $V$ 和 $W$ 是有限维的，在 $V^{\star }\otimes W^{\star }$ 和 $(V\otimes W{)}^{\star }$ 之间有一个自然的同构，而对于任意维的向量空间我们只有一个包含 $V^{\star }\otimes W^{\star }\subset (V\otimes W{)}^{\star }$。所以线性泛函的张量是双线性泛函。这给我们一种新看法，把双线性泛函看做张量积自身。

参见

• 外积
• 并矢积
• 張量積模型變換