共變和反變

Template:NoteTA Template:Not 在數學裏，反變（contravariant，也稱逆變）和共變（covariant，也稱協變）描述一個向量（或更廣義來說，張量）的坐標，在向量空間的基底／坐標系轉換之下，會如何改變。

反變和共變在張量場的演算中不可或缺，是了解狹義相對論、廣義相對論必需的數學基礎。

轉換方式

向量：反變轉換

• 標記法說明：向量 $𝐯$ 是向量空間 $V$ 的元素。向量基底 ${𝐞}_1,{𝐞}_2,...,{𝐞}_n$ 構成了向量空間的一個基底，其座標系統為$x^1,x^2,...,x^n$。對應這個基底，向量$𝐯$的分量為$v^1,v^2,...,v^n$，即$𝐯=\sum _i{v}^i{𝐞}_i$。

（註：$v^2$ 這符號中的上標$2$不代表平方，而是代表第二個坐標，在較基礎的數學上，常寫作 $v_2$ ，但是，在张量分析领域，指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示，以及愛因斯坦求和約定。）

向量空間$V$有另一個基底${\overline{𝐞}}_1,...,{\overline{𝐞}}_n$，其座標系統為${\overline{x}}^1,...,{\overline{x}}^n$。對應這個基底，$𝐯$ 有分量 ${\overline{v}}^1,{\overline{v}}^2,...,{\overline{v}}^n$，即$𝐯=\sum _i{\overline{v}}^i{\overline{𝐞}}_i$。

對於1...n之間任意整數 $\mu$ ，我們知道 ${\overline{v}}^{\mu }$ 和 $v^1,v^2,...,v^n$ 的關係：

${\overline{v}}^{\mu }=\frac{\partial {\overline{x}}^{\mu }}{\partial x^1}{v}^1+\frac{\partial {\overline{x}}^{\mu }}{\partial x^2}{v}^2+...+\frac{\partial {\overline{x}}^{\mu }}{\partial x^n}{v}^n$。

使用愛因斯坦求和約定可寫成：

${\overline{v}}^{\mu }=\frac{\partial {\overline{x}}^{\mu }}{\partial x^i}{v}^i$ 。

余向量：共變轉換

假設對偶空間$V^{*}$有兩個基底 ${𝐝𝐱}^1,{𝐝𝐱}^2,...,{𝐝𝐱}^n$跟${𝐝\overline{𝐱}}^1,{𝐝\overline{𝐱}}^2,...,{𝐝\overline{𝐱}}^n$ 。Template:Rp

假設$\mathit{\omega }\in V^{*},\mathit{\omega }=\sum _i{\mathit{\eta }}_i{𝐝𝐱}^i=\sum _j{\overline{\mathit{\eta }}}_{j}d{\overline{𝐱}}^j$。 則對於$1$...$n$之間其中一個特定的整數 $\mu$ ，我們知道 ${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mu }$ 和 ${\mathit{\eta }}_1,{\mathit{\eta }}_2,...,{\mathit{\eta }}_n$ 的關係：

${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mu }=\frac{\partial x^1}{\partial {\overline{x}}^{\mu }}{\mathit{\eta }}_1+\frac{\partial x^2}{\partial {\overline{x}}^{\mu }}{\mathit{\eta }}_2+...+\frac{\partial x^n}{\partial {\overline{x}}^{\mu }}{\mathit{\eta }}_n$ 。

或使用愛因斯坦求和約定寫成：

${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mu }=\frac{\partial x^i}{\partial {\overline{x}}^{\mu }}{\mathit{\eta }}_i$ 。

向量的共變分量和反變分量

在歐幾里得空間 $V$ 裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有餘向量 $𝐰$ ，通過下述方程式，向量 $𝐯$ 和線性泛函 $\alpha (𝐰)$ ，唯一地確定了餘向量 $𝐰$ ：

$\alpha (𝐰)=𝐯\cdot 𝐰$ 。

逆過來，通過上述方程式，線性泛函 $\alpha (𝐰)$ 和每一個餘向量，唯一地確定了向量 $𝐯$ 。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予 $V$ 的一個基底 $𝔣=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ ，則必存在一個唯一的對偶基底 ${𝔣}^{\mathrm{♯}}=(Y^1,Y^2,\dots ,Y^n)$ ，滿足

$Y^i\cdot X_j={\delta }_j^i$ ；

其中，${\delta }_j^i$ 是克羅內克函數。

以這兩種基底，任意向量 $𝐯$ 可以寫為兩種形式

$\begin{array}{cc}v& =\sum _i{v}^i[𝔣]X_i=𝔣𝐯[𝔣]\\ & =\sum _i{v}_i[𝔣]Y^i={𝔣}^{\mathrm{♯}}𝐯[{𝔣}^{\mathrm{♯}}]\end{array}$ ；

其中，$v^i[𝔣]$ 是向量 $𝐯$ 對於基底 $𝔣$ 的反變分量，$v_i[𝔣]$ 是向量 $𝐯$ 對於基底 $𝔣$ 的共變分量，

歐幾里得空間

將向量 $𝐚$ 投影於坐標軸 ${𝐞}^i$ ，可以求得其反變分量 $a^i$ ；將向量 $𝐚$ 投影於坐標曲面的法線 ${𝐞}_i$ ，可以求得其共變分量 $a_i$ 。

在歐幾里得空間Ｒ³裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是標準正交基的基底，其基底向量為 ${𝐞}_1$ 、${𝐞}_2$ 、${𝐞}_3$ ，就可以計算其對偶基底的基底向量：

${𝐞}^1=\frac{{𝐞}_2\times {𝐞}_3}{\tau };{𝐞}^2=\frac{{𝐞}_3\times {𝐞}_1}{\tau };{𝐞}^3=\frac{{𝐞}_1\times {𝐞}_2}{\tau }$ ；

其中，$\tau ={𝐞}_1\cdot ({𝐞}_2\times {𝐞}_3)$ 是三個基底向量 ${𝐞}_1$ 、${𝐞}_2$ 、${𝐞}_3$ 所形成的平行六面體的體積。

反過來計算，

${𝐞}_1=\frac{{𝐞}^2\times {𝐞}^3}{{\tau }^{\prime }};{𝐞}_2=\frac{{𝐞}^3\times {𝐞}^1}{{\tau }^{\prime }};{𝐞}_3=\frac{{𝐞}^1\times {𝐞}^2}{{\tau }^{\prime }}$ ；

其中，${\tau }^{\prime }={𝐞}^1\cdot ({𝐞}^2\times {𝐞}^3)=1/\tau$ 是三個基底向量 ${𝐞}^1$ 、${𝐞}^2$ 、${𝐞}^3$ 所形成的平行六面體的體積 。

雖然 ${𝐞}_i$ 與 ${𝐞}^j$ 並不相互標準正交，它們相互對偶：

${𝐞}_i\cdot {𝐞}^j={\delta }_i^j$ 。

這樣，任意向量 $𝐚$ 的反變坐標為

$a^1=𝐚\cdot {𝐞}^1;a^2=𝐚\cdot {𝐞}^2;a^3=𝐚\cdot {𝐞}^3$ 。

類似地，共變坐標為

$a_1=𝐚\cdot {𝐞}_1;a_2=𝐚\cdot {𝐞}_2;a_3=𝐚\cdot {𝐞}_3$ 。

這樣， $𝐚$ 可以表達為

$𝐚=a_i{𝐞}^i=a_1{𝐞}^1+a_2{𝐞}^2+a_3{𝐞}^3$ ，

或者，

$𝐚=a^i{𝐞}_i=a^1{𝐞}_1+a^2{𝐞}_2+a^3{𝐞}_3$ 。

綜合上述關係式，

$𝐚=(𝐚\cdot {𝐞}_i){𝐞}^i=(𝐚\cdot {𝐞}^i){𝐞}_i$ 。

向量 $𝐚$ 的共變坐標為

$a_i=𝐚\cdot {𝐞}_i=(a^j{𝐞}_j)\cdot {𝐞}_i=({𝐞}_j\cdot {𝐞}_i)a^j=g_{ji}{a}^j$ ；

其中，$g_{ji}={𝐞}_j\cdot {𝐞}_i$ 是度規張量。

向量 $𝐚$ 的反變坐標為

$a^i=𝐚\cdot {𝐞}^i=(a_j{𝐞}^j)\cdot {𝐞}^i=({𝐞}^j\cdot {𝐞}^i)a_j=g^{ji}{a}_j$ ;

其中，$g^{ji}={𝐞}^j\cdot {𝐞}^i$ 是共軛度規張量。

共變坐標的標號是下標，反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標，所有的標號都可以用下標來標記。

在相對論上的應用

根據相對性原理，一條物理定律在不同的系統，都應該有相同的「形式」。

狹義相對論討論的是閔可夫斯基空間，它是一種平直空間。