漢彌爾頓矩陣

在數學上，若一個Template:Math階矩陣Template:Math是一個漢彌爾頓矩陣，則對此矩陣而言，Template:Math會是一個對稱矩陣，而其中Template:Math這個矩陣具有以下的形式：

$J=\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right]$

其中Template:Math是Template:Math階矩陣單位矩陣。也就是說，若Template:Math是一個漢彌爾頓矩陣若且唯若Template:Math，在此處Template:Math表示矩陣的轉置

性質

假設一個Template:Math階的矩陣Template:Math可寫成如下形式的分塊矩陣：

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

其中Template:Math、Template:Math、Template:Math、Template:Math皆為Template:Math階矩陣，則「Template:Math是漢彌爾頓矩陣」的這條件與「Template:Math和Template:Math這兩個矩陣皆為對稱矩陣，且Template:Math」的這條件等價。另一個Template:Math是漢彌爾頓矩陣時的這條件等價的條件為「存在一個對稱矩陣Template:Math，使得Template:Math with Template:Math」Template:Rp

從轉置的定義，可輕易地得知說一個漢彌爾頓矩陣的轉置也是漢彌爾頓矩陣，兩個漢彌爾頓矩陣的和也是彌爾頓矩陣，一個漢彌爾頓矩陣的交換子也是漢彌爾頓矩陣。由所有同階的漢彌爾頓矩陣組成的空間形式一個李代數，記作Template:Math，而Template:Math的維度則為Template:Math。與這個李代數相對應的李群是Template:Math這個辛群。Template:Math這個群可將之視作由辛矩陣所構成的一個群，其中若一矩陣Template:Math為一辛矩陣，則它滿足Template:Math這條件。因此，一個漢彌爾頓矩陣的指數是一個辛矩陣，而一個辛矩陣的對數是一個漢彌爾頓矩陣。Template:Rp

實漢彌爾頓矩陣的特徵多項式是個偶函數，因此若Template:Math是一個漢彌爾頓矩陣的特征向量，則Template:Math、Template:Math和Template:Math也都會是該矩陣的特徵向量。Template:Rp而這也說明了一個漢彌爾頓矩陣的跡會是零。

一個漢彌爾頓矩陣的平方是一個斜漢彌爾頓矩陣（skew-Hamiltonian matrix。若一個矩陣Template:Math滿足Template:Math這條件，則它是一個斜漢彌爾頓矩陣）；另一方面，每個斜漢彌爾頓矩陣都是一個彌爾頓矩陣的平方。

在複矩陣上的推廣

漢彌爾頓的定義可用兩種方式推廣到複矩陣上。一種方法是如上所述般定義說若一矩陣Template:Math滿足Template:Math這條件，則該矩陣是一個漢彌爾頓矩陣；另一個方式是利用Template:Math這條件，其中Template:Math表示矩陣的共轭转置。

漢彌爾頓算子

設Template:Math為一個向量空間，在其上有著辛形式Template:Math。那麼當「$x,y\mapsto \mathrm{\Omega }(A(x),y)$是對稱的」這條件滿足時，就稱線性變換$A:V\mapsto V$是一個對Template:Math的漢彌爾頓算子（Hamiltonian operator），也就是說它當滿足下式：

$\mathrm{\Omega }(A(x),y)=-\mathrm{\Omega }(x,A(y))$

若選擇一個基Template:Math in Template:Math，使得Template:Math可寫成$\sum _i{e}_i\wedge e_{n+i}$這樣的形式，則一個對Template:Math線性算子是漢彌爾頓算子，當且僅當在這個基中與此算子對應的矩陣是漢彌爾頓矩陣。