降次积分法

Template:微积分学 降次积分法是求高次函数积分的一种技巧。先用换元积分法、三角换元法、分部积分法、部分分式積分法等方法求出降次公式，将原函数（如I_n）用低次的函数形式（如I_n-2）表示。然后将n代成想求的数，逐步降次，直至降至0或1为止，借助积分表得出结果。

例子

如在求$\int {\cos }^5(x)dx$时，需要先求得$\int {\cos }^n(x)dx$的降次公式，过程如下：

$I_n=\int {\cos }^n(x)dx$

$=\int {\cos }^{n-1}(x)\cos (x)dx$

$=\int {\cos }^{n-1}(x)d(\sin (x))$

$={\cos }^{n-1}(x)\sin (x)-\int \sin (x)d(co{s}^{n-1}(x))$

$={\cos }^{n-1}(x)\sin (x)+(n-1)\int \sin (x){\cos }^{n-2}(x)\sin (x)dx$

$={\cos }^{n-1}(x)\sin (x)+(n-1)\int {\cos }^{n-2}(x){\sin }^2(x)dx$

$={\cos }^{n-1}(x)\sin (x)+(n-1)\int {\cos }^{n-2}(x)(1-{\cos }^2(x))dx$

$={\cos }^{n-1}(x)\sin (x)+(n-1)\int {\cos }^{n-2}(x)dx-(n-1)\int {\cos }^n(x)dx$

$={\cos }^{n-1}(x)\sin (x)+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n$

$I_n+(n-1)I_n={\cos }^{n-1}(x)\sin (x)+(n-1)I_{n-2}$

$n{I}_n={\cos }^{n-1}(x)\sin (x)+(n-1)I_{n-2}$

$I_n=\frac{1}{n}{\cos }^{n-1}(x)\sin (x)+\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$

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因此$\int {\cos }^n(x)dx$可表示为：

$\int {\cos }^n(x)dx=\frac{1}{n}{\cos }^{n-1}(x)\sin (x)+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}(x)dx$

将n=5代入，可得：

$n=5$：$I_5=\frac{1}{5}{\cos }^4(x)\sin (x)+\frac{4}{5}{I}_3$

$n=3$：$I_3=\frac{1}{3}{\cos }^2(x)\sin (x)+\frac{2}{3}{I}_1$

$\because I_1=\int \cos (x)dx=\sin (x)+C_1$

$\therefore I_3=\frac{1}{3}{\cos }^2(x)\sin (x)+\frac{2}{3}\sin (x)+C_2$，$C_2=\frac{2}{3}{C}_1$

$I_5=\frac{1}{5}{\cos }^4(x)\sin (x)+\frac{4}{5}[\frac{1}{3}{\cos }^2(x)\sin (x)+\frac{2}{3}\sin (x)]+C$，C为常数

常见降次公式

除了上述的$\int {\cos }^n(x)dx$外，常见的降次公式还有：

$\int {\sin }^n(x)dx=-\frac{1}{n}{\sin }^{n-1}(x)\cos (x)+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}(x)dx$

$\int {\tan }^n(x)dx=\frac{1}{n-1}{\tan }^{n-1}(x)-\int {\tan }^{n-2}(x)dx$

$\int (\ln (x){)}^{n}dx=x(\ln (x){)}^n-n\int (\ln (x){)}^{n-1}dx$