格林恆等式

格林恆等式（Template:Lang）乃是向量分析的一組共三條恆等式，以發現格林定理的英國數學家喬治·格林命名。

格林第一恆等式

設定向量場 $𝐅 = ψ \nabla ϕ$ ；其中，在 $ℝ^{3}$ 的某區域 $𝕌$ 內， $ϕ$ 是二次連續可微標量函數， $ψ$ 是一次連續可微標量函數，則從散度定理，

\int_{𝕌} \nabla \cdot 𝐅 d V = \oint_{\partial 𝕌} 𝐅 \cdot 𝐧 d S

，

可以推導出格林第一恆等式^[1]：

\int_{𝕌} (ψ \nabla^{2} ϕ + \nabla ϕ \cdot \nabla ψ) d V = \oint_{\partial 𝕌} ψ \frac{\partial ϕ}{\partial n} d S

；

其中， $\partial 𝕌$ 是區域 $𝕌$ 的邊界， $\frac{\partial}{\partial n}$ 是取於邊界面 $\partial 𝕌$ 的法向導數，即 $\frac{\partial ϕ}{\partial n} = \nabla ϕ \cdot 𝐧$ 。

假若在區域 $𝕌$ 內， $ϕ$ 和 $ψ$ 都是二次連續可微，則可交換 $ϕ$ 與 $ψ$ ，從 $(ψ, ϕ)$ 的格林第一恆等式得到 $(ϕ, ψ)$ 的格林第一恆等式。將這兩個恆等式相減，則可得到格林第二恆等式：

\int_{𝕌} (ψ \nabla^{2} ϕ - ϕ \nabla^{2} ψ) d V = \oint_{\partial 𝕌} (ψ \frac{\partial ϕ}{\partial n} - ϕ \frac{\partial ψ}{\partial n}) d S

。

\nabla^{2} G (𝐱, 𝐱^{'}) = δ (𝐱 - 𝐱^{'})

；

其中， $δ (𝐱 - 𝐱^{'})$ 是狄拉克δ函數。

例如，在R³，基本解的形式為

G (𝐱, 𝐱^{'}) = \frac{- 1}{4 π ‖ 𝐱 - 𝐱^{'} ‖}

。

函數 $G$ 稱為格林函數。對於變數 $𝐱$ 與 $𝐱^{'}$ 的交換，格林函數具有對稱性，即 $G (𝐱, 𝐱^{'}) = G (𝐱^{'}, 𝐱)$ 。

設定 $ϕ = G$ ，在區域 $𝕌$ 內， $ψ$ 是二次連續可微。假若 $𝐱$ 在積分區域 $𝕌$ 內，則應用狄拉克δ函數的定義，

ψ (𝐱) - \int_{𝕌} [G (𝐱, 𝐱^{'}) \nabla'^{2} ψ (𝐱^{'})] d V^{'} = \oint_{\partial 𝕌} [ψ (𝐱^{'}) \frac{\partial G (𝐱, 𝐱^{'})}{\partial n^{'}} - G (𝐱, 𝐱^{'}) \frac{\partial ψ (𝐱^{'})}{\partial n^{'}}] d S^{'}

；

其中， $d V^{'}$ 、 $d S^{'}$ 分別積分 $𝐱^{'}$ 於 $𝕌$

這是格林第三恆等式。假若 $ψ$ 是調和函數，即拉普拉斯方程式的解：

\nabla'^{2} ψ (𝐱^{'}) = 0

，

則這恆等式簡化為

ψ (𝐱) = \oint_{\partial 𝕌} [ψ (𝐱^{'}) \frac{\partial G (𝐱, 𝐱^{'})}{\partial n^{'}} - G (𝐱, 𝐱^{'}) \frac{\partial ψ (𝐱^{'})}{\partial n^{'}}] d S^{'}

。