可观测性格拉姆矩阵

控制理論中，可观测性格拉姆矩阵（Observability Gramian）是用來判斷線性動態系統是否可觀測的格拉姆矩阵。

若針對以下的線性時變系統

$\dot{x} (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t)$

$y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t)$

可观测性格拉姆矩阵為

$W_{o} (t_{0}, t_{1}) = \int_{t_{0}}^{t_{1}} Φ^{T} (τ, t_{0}) C^{T} (τ) C (τ) Φ (τ, t_{0}) d τ$ ,

系統在 $t \in [t_{0}, t_{1}]$ 具有可觀測性，若且唯若 $W_{o} (t_{0}, t_{1})$ 為非奇異矩陣，

連續時間，線性非時變系統

若在連續時間的線性非時變系統中，也可以定義可观测性格拉姆矩阵（不過也有其他判斷可观测性的方法）。

若考慮以下的系統

$\dot{x} (t) = A x (t) + B u (t)$

$y (t) = C x (t) + D u (t)$

其可观测性格拉姆矩阵是以下 $n \times n$ 的方陣

$𝑾_{𝒐} (t) = \int_{0}^{t} e^{𝑨^{T} τ} 𝑪^{𝑻} 𝑪 e^{𝑨 τ} d τ$

$𝑨$ 若穩定（所有的特徵值實部均為負），可观测性格拉姆矩阵也是以下李亞普諾夫方程的唯一解

$𝑨^{𝑻} 𝑾_{o} + 𝑾_{o} 𝑨 = - 𝑪^{𝑻} 𝑪$

$𝑨$ 若穩定（所有的特徵值實部均為負），而且 $𝑾_{o}$ 也是正定矩陣，則此系統有可观测性。

若考慮以下的離散時間系統

$\begin{matrix} 𝒙 [k + 1] = 𝑨 𝒙 [k] + 𝑩 𝒖 [k] \\ 𝒚 [k] = 𝑪 𝒙 [k] + 𝑫 𝒖 [k] \end{matrix}$

其離散可观测性格拉姆矩阵是以下 $n \times n$ 的方陣

$𝑾_{d o} = \sum_{m = 0}^{\infty} (𝑨^{T})^{m} 𝑪^{T} 𝑪 𝑨^{m}$

$𝑨$ 若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），也是以下離散李亞普諾夫方程的解

$W_{d o} - 𝑨^{𝑻} 𝑾_{d o} 𝑨 = 𝑪^{𝑻} 𝑪$

$𝑨$ 若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），而且 $𝑾_{d o}$ 也是正定矩陣，則此系統有可观测性。