可控制性格拉姆矩陣

控制理论中，可控制性格拉姆矩阵（Controllability Gramian）是用來判斷線性動態系統是否可控制的格拉姆矩阵。

若針對以下的線性時變系統

$\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$

$y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)$

可控制性格拉姆矩阵為

$W_c(t_0,t_1)=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\mathrm{\Phi }(\tau ,t_0)B(\tau )B^T(\tau ){\mathrm{\Phi }}^T(\tau ,t_0)d\tau$ ,

其中$\mathrm{\Phi }$為狀態轉換矩陣

系統在$t\in [t_0,t_1]$具有可控制性，若且唯若$W_c(t_0,t_1)$為非奇異矩陣。

連續時間，線性非時變系統

若在連續時間的線性非時變系統中，也可以定義可控制性格拉姆矩阵（不過也有其他判斷可观测性的方法）。

若考慮以下的系統

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

其可控制性格拉姆矩阵是以下$n\times n$的方陣

${𝑾}_{𝒄}(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{𝑨\tau }𝑩{𝑩}^{𝑻}{e}^{{𝑨}^T\tau }d\tau$

$𝑨$若穩定（所有的特徵值實部均為負），可控制性格拉姆矩阵也是以下李亞普諾夫方程的唯一解

$𝑨{𝑾}_c+{𝑾}_c{𝑨}^{𝑻}=-𝑩{𝑩}^{𝑻}$

$𝑨$若穩定（所有的特徵值實部均為負），而且${𝑾}_c$也是正定矩陣，則此系統具有可控制性，也就是$(𝑨,𝑩)$矩陣對具有可控制性。

此一定義也和以下其他可控制性的定義等效：

1. $n\times np$的可控制性矩陣

$𝒞=[\begin{array}{ccccc}𝑩& 𝑨𝑩& {𝑨}^2𝑩& ...& {𝑨}^{𝒏\mathit{-}1}𝑩\end{array}]$

的秩為n。

2. $n\times (n+p)$矩陣

$[\begin{array}{cc}𝑨\mathit{-}\mathit{\lambda }𝑰& 𝑩\end{array}]$

對於每個$𝑨$的特徵值$\lambda$，都有滿秩。

和李亞普諾夫方程的關係

可控制性格拉姆矩陣是以下李亞普諾夫方程的解

$𝑨{𝑾}_c+{𝑾}_c{𝑨}^{𝑻}=-𝑩{𝑩}^{𝑻}$

假若令

${𝑾}_{𝒄}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{𝑨\tau }𝑩{𝑩}^{𝑻}{e}^{{𝑨}^T\tau }d\tau$

為一個解，可得：

$\begin{array}{ccccc}𝑨{𝑾}_c+{𝑾}_c{𝑨}^{𝑻}& =& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}𝑨e^{𝑨\tau }𝑩{𝑩}^{𝑻}{e}^{{𝑨}^T\tau }d\tau & +& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{𝑨\tau }𝑩{𝑩}^{𝑻}{e}^{{𝑨}^T\tau }{𝑨}^{𝑻}d\tau \\ & =& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{d}{d\tau }(e^{𝑨\tau }𝑩{𝑩}^T{e}^{{𝑨}^T\tau })d\tau & =& e^{𝑨t}𝑩{𝑩}^T{e}^{{𝑨}^{T}t}{|}_{t=0}^{\mathrm{\infty }}\\ & =& 0-𝑩{𝑩}^{𝑻}\\ & =& \mathit{-}𝑩{𝑩}^{𝑻}\end{array}$

其中用到了對於穩定$𝑨$，在$t=\mathrm{\infty }$時，$e^{𝑨t}=0$的事實（所有的特徵值實部均為負），因此${𝑾}_c$確實是李亞普諾夫方程的解。

格拉姆矩陣的性質

因為 $𝑩{𝑩}^{𝑻}$ 是對稱矩陣，因此${𝑾}_c$也是對稱矩陣。

若$𝑨$是穩定矩陣（所有的特徵值實部均為負），可以證明${𝑾}_c$是唯一的。利甪反證法，先假設以下方程有二個不同解

$𝑨{𝑾}_c+{𝑾}_c{𝑨}^{𝑻}=-𝑩{𝑩}^{𝑻}$

分別是${𝑾}_{c1}$和${𝑾}_{c2}$，因此可得：

$𝑨{\mathit{(}𝑾}_{c1}-{𝑾}_{c2})+{\mathit{(}𝑾}_{c1}-{𝑾}_{c2}){𝑨}^{𝑻}=0$

在左右分別乘以$e^{𝑨t}$和$e^{{𝑨}^{T}t}$，可得：

$e^{𝑨t}[𝑨{\mathit{(}𝑾}_{c1}-{𝑾}_{c2})+{\mathit{(}𝑾}_{c1}-{𝑾}_{c2}){𝑨}^{𝑻}]e^{{𝑨}^{𝑻}t}=\frac{d}{dt}[e^{𝑨t}[({𝑾}_{c1}-{𝑾}_{c2})e^{{𝑨}^{𝑻}t}]=0$

從$0$積分到$\mathrm{\infty }$：

$[e^{𝑨t}[({𝑾}_{c1}-{𝑾}_{c2})e^{{𝑨}^{𝑻}t}]{|}_{t=0}^{\mathrm{\infty }}=0$

再利用此一事實，當$t\to \mathrm{\infty }$時，$e^{𝑨t}\to 0$：

$0-({𝑾}_{c1}-{𝑾}_{c2})=0$

因此，${𝑾}_c$是唯一的。

也可以看出

${𝒙}^{𝑻}{𝑾}_{𝒄}𝒙=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{𝒙}^T{e}^{𝑨t}𝑩{𝑩}^{𝑻}{e}^{{𝑨}^{T}t}𝒙dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\Vert {𝑩}^{𝑻}{𝒆}^{{𝑨}^{𝑻}𝒕}𝒙\Vert }_2^{2}dt$

在任何t時都為正，因此${𝑾}_c$是正定矩陣。

可控制性系統的其他特性在中，以及可控制性中都有描述。

離散時間，線性非時變系統

若考慮以下的離散時間系統

$\begin{array}{c}𝒙[k+1]\mathit{=}𝑨𝒙[k]+𝑩𝒖[k]\\ 𝒚[k]=𝑪𝒙[k]+𝑫𝒖[k]\end{array}$

其離散可控制性格拉姆矩阵是以下$n\times n$的方陣

${𝑾}_{dc}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{𝑨}^m{𝑩𝑩}^T({𝑨}^T{)}^m$

$𝑨$若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），也是以下離散李亞普諾夫方程的解

$W_{dc}-𝑨{𝑾}_{dc}{𝑨}^{𝑻}=𝑩{𝑩}^{𝑻}$

$𝑨$若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），而且${𝑾}_{dc}$也是正定矩陣，則此系統有可控制性。

更多相關的性質及證明在。

線性時變系統（LTV）

考慮以下的線性時變系統（LTV）：

$\begin{array}{c}\dot{𝒙}(t)\mathit{=}𝑨(t)𝒙(t)+𝑩(t)𝒖(t)\\ 𝒚(t)=𝑪(t)𝒙(t)\end{array}$

其中矩陣$𝑨$, $𝑩$和$𝑪$的元素會隨時間而變化。其可控制性格拉姆矩陣為$n\times n$矩陣，定義如下：

${𝑾}_c(t_0,t_1)=\underset{{}_0}{\overset{{}^{\mathrm{\infty }}}{\int }}\mathrm{\Phi }(t_1,\tau )𝑩(\tau ){𝑩}^T(\tau ){\mathrm{\Phi }}^T(t_1,\tau )d\tau$

其中$\mathrm{\Phi }(t,\tau )$為$\dot{𝒙}=𝑨(t)𝒙$的狀態轉移矩陣。

系統$(𝑨(t),𝑩(t))$有可控制性的充份必要條是存在$t_1>t_0$，使得可控制性格拉姆矩陣${𝑾}_c(t_0,t_1)$為非奇異矩陣。

格拉姆矩陣的性質

可控制性格拉姆矩陣${𝑾}_c(t_0,t_1)$有以下的性質：

${𝑾}_c(t_0,t_1)={𝑾}_c(t_0,t)+\mathrm{\Phi }(t,t_0){𝑾}_c(t,t_0){\mathrm{\Phi }}^T(t,t_0)$

可以由${𝑾}_c(t_0,t_1)$的定義，以及以下的狀態轉移矩陣性質來推導：

$\mathrm{\Phi }(t_0,t_1)=\mathrm{\Phi }(t_1,\tau )\mathrm{\Phi }(\tau ,t_0)$

其他有關可控制性格拉姆矩陣的性質可以參考。

相關條目

• 可控制性
• 可观测性格拉姆矩阵
• 格拉姆矩阵
• 最小能量控制

外部連結

• Mathematica function to compute the controllability Gramian Template:Wayback