交叉格拉姆矩陣

Template:Orphan 交叉格拉姆矩陣（cross Gramian）是控制理论中的名詞，會用$W_X$或$W_{CO}$來表示，是用來判斷線性系統可控制性及可觀測性的格拉姆矩阵。

針對線性的时不变線性系統

$\dot{x}=Ax+Bu$

$y=Cx$

其交叉格拉姆矩陣定義為：

$W_X:=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{At}BC{e}^{At}dt$

也是以下西爾維斯特方程的解：

$A{W}_X+W_{X}A=-BC$

三數組$(A,B,C)$有可控制性及可觀測性若且唯若$W_X$為非奇异方阵（也就是說，針對任意時間$t>0$，$W_X$都有滿秩）。

若對應系統$(A,B,C)$是對稱的，也就是存在轉換矩陣$J$使下式成立

$AJ=J{A}^T$

$B=J{C}^T$

則交叉格拉姆矩陣的特征值绝对值會等於漢克爾奇異值：

$|\lambda (W_X)|=\sqrt{\lambda (W_C{W}_O)}.$

因此交叉格拉姆矩陣的奇异值分解的直接截斷會允許Template:Link-en。

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