本構關係

Template:NoteTA 在電磁學裏，為了要應用宏观馬克士威方程組，必須分別找到$𝐃$場與$𝐄$場之間，和$𝐇$場與$𝐁$場之間的關係。這些稱為本構關係的物理性質，設定了束縛電荷和束縛電流對於外場的響應。它們實際地對應於，一個物質響應外場作用而產生的電極化或磁化。Template:Rp

本構關係式的基礎建立於$𝐃$場與$𝐇$場的定義式：

$𝐃(𝐫,t)\stackrel{def}{=}{ϵ}_0𝐄(𝐫,t)+𝐏(𝐫,t)$、

$𝐇(𝐫,t)\stackrel{def}{=}\frac{1}{{\mu }_0}𝐁(𝐫,t)-𝐌(𝐫,t)$；

其中，$𝐏$是電極化強度，$𝐌$是磁化強度。

本構關係式的一般形式為

$𝐃=𝐃(𝐄,𝐁)$、

$𝐇=𝐇(𝐄,𝐁)$。

在解釋怎樣計算電極化強度與磁化強度之前，最好先檢視一些特別案例。

自由空間案例

假設，在自由空間（即理想真空）裏，就不用考慮介電質和磁化物質，本構關係式變得很簡單：Template:Rp

$𝐃={\epsilon }_0𝐄$、

$𝐇=𝐁/{\mu }_0$。

將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，則得到的方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在自由空間裏，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流。

線性物質案例

對於線性、各向同性物質，本構關係式也很直接：

$𝐃=\epsilon 𝐄$、

$𝐇=𝐁/\mu$；

其中，$\epsilon$是物質的電容率，$\mu$是物質的磁導率。

將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，可以得到方程組

對於線性、各向同性物質的表述

名稱	微分形式	積分形式
高斯定律	$\mathrm{\nabla }\cdot (\epsilon 𝐄)={\rho }_f$	$\underset{𝕊}{\iint }\subset \supset (\epsilon 𝐄)\cdot \mathrm{d}𝐬=Q_f$
高斯磁定律	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$	$\underset{𝕊}{\iint }\subset \supset 𝐁\cdot \mathrm{d}𝐬=0$
馬克士威-法拉第方程 (法拉第电磁感应定律)	$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$	${\oint }_{𝕃}𝐄\cdot \mathrm{d}\mathit{\ell }=-\frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_{𝐁}}{\mathrm{d}t}$
安培定律 (含馬克士威加法)	$\mathrm{\nabla }\times (𝐁/\mu )={𝐉}_f+\epsilon \frac{\partial 𝐄}{\partial t}$	${\oint }_{𝕃}(𝐁/\mu )\cdot \mathrm{d}\mathit{\ell }=I_f+\frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_{\epsilon 𝐄}}{\mathrm{d}t}$

除非這物質是均勻物質，不能從微分式或積分式內提出電容率和磁導率。通量${\mathrm{\Phi }}_{\epsilon 𝐄}$的方程式為

${\mathrm{\Phi }}_{\epsilon 𝐄}=\underset{𝕊}{\iint }\subset \supset \epsilon 𝐄\cdot \mathrm{d}𝐬$。

這方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，自由空間的電容率和磁導率分別被物質的電容率和磁導率替代；還有，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在均勻物質內部，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流，雖然由於不連續性，可能在表面會有面束縛電荷、面束縛電流或面極化電流。

一般案例

對於實際物質，本構關係並不是簡單的線性關係，而是只能近似為簡單的線性關係。從$𝐃$場與$𝐇$場的定義式開始，要找到本構關係式，必需先知道電極化強度和磁化強度是怎樣從電場和磁場產生的。這可能是由實驗得到（建立於直接測量），或由推論得到（建立於統計力學、傳輸力學（Template:Lang）或其它凝聚態物理學的理論）。所涉及的細節可能是宏观或微觀的。這都要視問題的層級而定。

雖然如此，本構關係式通常仍舊可以寫為

$𝐃=\epsilon 𝐄$、

$𝐇=𝐁/\mu$。

不同的是，$\epsilon$和$\mu$不再是簡單常數，而是函數。例如，

• 色散或吸收：$\epsilon$和$\mu$是頻率的函數。因果論不允許物質具有非色散性，例如，克拉莫-克若尼關係式。場與場之間的相位可能不同相，這導致$\epsilon$和$\mu$為複值，也導致電磁波被物質吸收。Template:Rp
• 非線性：$\epsilon$和$\mu$都是電場與磁場的函數。例如，克爾效應和波克斯效應（Template:Lang）。
• 各向異性：例如，雙折射或二向色性（Template:Lang）。$\epsilon$和$\mu$都是二階張量：

$D_i=\sum _j{ϵ}_{ij}{E}_j$、

$B_i=\sum _j{\mu }_{ij}{H}_j$。

• 雙耦合各向同性（Template:Lang）或雙耦合各向異性（Template:Lang）：在雙耦合各向同性物質裏，$𝐃$場與$𝐇$場分別各向同性地耦合於$𝐄$場與$𝐁$場：

$𝐃=ϵ𝐄+\xi 𝐇$、

$𝐁=\mu 𝐇+\zeta 𝐄$；

其中，$\xi$與$\zeta$是耦合常數，每一種介質的内禀常數。

在雙耦合各向異性物質裏，$𝐃$場與$𝐇$場分別各向異性地耦合於$𝐄$場與$𝐁$場，係數$ϵ$、$\mu$、$\xi$、$\zeta$都是張量。

• 在不同位置和時間，$𝐏$場與$𝐌$場分別跟$𝐄$場、$𝐁$場有關：這可能是因為「空間不勻性」。例如，一個磁鐵的域結構、異質結構或液晶，或最常出現的狀況是多種材料占有不同空間區域。這也可能是因為隨時間而改變的物質或磁滯現象。對於這種狀況，$𝐏$場與$𝐌$場計算為Template:Rp

$𝐏(𝐫,t)={\epsilon }_0\int d^3{𝐫}^{\prime }d{t}^{\prime }{\chi }_{\mathrm{e}}(𝐫,{𝐫}^{\prime },t,t^{\prime };𝐄)𝐄({𝐫}^{\prime },t^{\prime })$、

$𝐌(𝐫,t)=\frac{1}{{\mu }_0}\int d^3{𝐫}^{\prime }d{t}^{\prime }{\chi }_{\mathrm{m}}(𝐫,{𝐫}^{\prime },t,t^{\prime };𝐁)𝐁({𝐫}^{\prime },t^{\prime })$；

其中，${\chi }_{\mathrm{e}}$是電極化率，${\chi }_{\mathrm{m}}$是磁化率。

實際而言，在某些特別狀況，一些物質性質給出的影響微乎其微，這允許物理學者的忽略。例如，在低場強度狀況，光學非線性性質可以被忽略；當頻率局限於狹窄頻寬內時，色散不重要；對於能夠穿透物質的波長，物質吸收可以被忽略；對於微波或更長波長的電磁波，有限電導率的金屬時常近似為具有無窮大電導率的完美金屬（Template:Lang），形成電磁場穿透的趨膚深度為零的硬障礙。

隨著材料科學的進步，材料專家可以設計出具有特定的電容率或磁導率的新材料，像光子晶體。

本構關係的演算

通常而言，感受到局域場施加的勞侖茲力，介質的分子會有所響應，從相關的理論計算，可以得到這介質的本構關係式。除了勞侖茲力以外，可能還需要給出其它作用力的理論模型，像涉及晶體內部晶格振動的鍵作用力，將這些作用力納入考量，一併計算。

在介質內部任意分子的位置$𝐫$，其鄰近分子會被電極化和磁化，從而造成其局域場會與外場或宏观場不同。更詳盡細節，請參閱克勞修斯-莫索提方程式。真實介質不是連續性物質，其局域場在原子尺度的變化相當劇烈，必需經過空間平均，才能形成連續近似。

這連續近似問題時常需要某種量子力學分析，像應用於凝聚態物理學的量子場論。請參閱密度泛函理論和格林-庫波關係式（Template:Lang）等等案例。物理學者研究出許多近似傳輸方程式，例如，波茲曼傳輸方程式（Template:Lang）、佛克耳-普朗克方程式（Template:Lang）和納維-斯托克斯方程式。這些方程式已經廣泛地應用於流體動力學、磁流體力學、超導現象、等離子模型（Template:Lang）等等學術領域。一整套處理這些艱難問題的物理工具已被成功地發展出來。另外，從處理像礫岩（Template:Lang）或疊層材料（Template:Lang）一類物質的傳統方法演變出來的「均質化方法」，是建立於以「均質有效介質」來近似「非均質介質」的方法。當激發波長超大於非均質性的尺度時，這方法正確無誤。

理論得到的答案必須符合實驗測量的數據。許多真實物質的連續近似性質，是靠著實驗測量而得到的。例如，應用橢圓偏振技術得到的薄膜的介電性質。