克拉莫-克若尼關係式

Template:NoteTA 克喇末-克勒尼希關係式（Template:Lang-en）是數學上連結複面上半可析函數實部和虚部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函數。物理上因果關係（系統反應必須在施力之後）意味着反應函數必須符合複面上半的可析性。反之，反應函數的可析性意味着相應物理系統的因果性。此關係式以拉尔夫·克勒尼希和汉斯·克喇末為名。

公式定義

給定一複數變數$\omega$的複值函數$\chi (\omega )={\chi }_1(\omega )+i{\chi }_2(\omega )$，其中${\chi }_1$和${\chi }_2$是實值函數。假設此函數$\chi (\omega )$在複數平面上半部可析，且當$|\omega |$趨向無限大时，它在上半平面趋于零的速度比$1/|\omega |$快或與之相等，那么$\chi (\omega )$满足以下關係：

${\chi }_1(\omega )=\frac{1}{\pi }𝒫\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\chi }_2({\omega }^{\prime })}{{\omega }^{\prime }-\omega }d{\omega }^{\prime }$

和

${\chi }_2(\omega )=-\frac{1}{\pi }𝒫\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\chi }_1({\omega }^{\prime })}{{\omega }^{\prime }-\omega }d{\omega }^{\prime },$

其中$𝒫$表示柯西主值。因此可析函數的實部和虚部并不獨立：函數的一部分可以重建整個函數。

推導

推導克喇末-克勒尼希關係式是留數定理的基本應用。對任何複面上半可析函數

$\chi ({\omega }^{\prime })$

和實數

$\omega$

函數

$\frac{\chi ({\omega }^{\prime })}{{\omega }^{\prime }-\omega }$

在複面上半可析。留數定理得到對任何在複面上半的積分路徑：

克拉默斯-克朗尼希關係的積分路徑。

$\oint \frac{\chi ({\omega }^{\prime })}{{\omega }^{\prime }-\omega }d{\omega }^{\prime }=0$

選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上極點、再以複面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和$|\omega |$成正比，因此只要$\chi ({\omega }^{\prime })$消失比$1/{\omega }^{\prime }$快，對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓：

$\oint \frac{\chi ({\omega }^{\prime })}{{\omega }^{\prime }-\omega }d{\omega }^{\prime }=𝒫\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\chi ({\omega }^{\prime })}{{\omega }^{\prime }-\omega }d{\omega }^{\prime }-i\pi \chi (\omega )=0.$

以上第二項留數定理的結果。重組後得到克喇末-克勒尼希關係式：

$\chi (\omega )=\frac{1}{i\pi }𝒫\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\chi ({\omega }^{\prime })}{{\omega }^{\prime }-\omega }d{\omega }^{\prime }.$

分母裡的虚數$i$意味者這是連系實部和虚部的公式。把$\chi (\omega )$分解成實部和虚部可輕易得到更早的公式。

物理理解

可以将Kramers-Kronig关系应用于响应函数理论。物理上，响应函数$\chi (t-t^{\prime })$概括系統對在時間$t^{\prime }$的作用力$F(t^{\prime })$在另一時間$t$的反應$P(t)$：

$P(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\chi (t-t^{\prime })F(t^{\prime })d{t}^{\prime }$

因為系統不能在施力前有任何反應因此當$t^{\prime }>t$，$\chi (t-t^{\prime })=0$。 可以證明這因果關係意味着$\chi (\tau )$的傅立葉變換$\chi (\omega )$在$\omega$複面上半可析。另外如果我們施加系統一個遠高於它最高共振頻率的高頻作用力，此時作用力轉换太快而系統不能即時做出反應，因此$\omega$很大時，$\chi (\omega )$會趨近於0。從這些物理考量，可知物理反應函數$\chi (\omega )$通常符合克喇末-克勒尼希關係式的前提條件。

反應函數$\chi (\omega )$的虚部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希關係，我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相（不做功）反應，反之亦然。

上述函数的积分路径是从$-\mathrm{\infty }$到$\mathrm{\infty }$，其中出现了负频率。幸运的是，多数系统中，正频响应决定了负频响应，这是因为$\chi (\omega )$是实数变量$\chi (t-t^{\prime })$的傅里叶变换，根据对实数进行傅里叶变换的性质，$\chi (-\omega )={\chi }^{*}(\omega )$，${\chi }_1(\omega )$是频率$\omega$的偶函数，而${\chi }_2(\omega )$是$\omega$的奇函数。

根据该性质，积分可以从正负无穷区间约化为$[0,\mathrm{\infty })$的区间上。考虑实部${\chi }_1(\omega )$的第一个关系，积分函数上下同乘${\omega }^{\prime }+\omega$可得：

${\chi }_1(\omega )=\frac{1}{\pi }𝒫\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\omega }^{\prime }{\chi }_2({\omega }^{\prime })}{\omega {\text{'}}^2-{\omega }^2}d{\omega }^{\prime }+\frac{\omega }{\pi }𝒫{\mathcal{\int }}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\chi }_2({\omega }^{\prime })}{\omega {\text{'}}^2-{\omega }^2}d{\omega }^{\prime }.$

由于${\chi }_2(\omega )$为奇函数，第二项为零，剩下的部分为

${\chi }_1(\omega )=\frac{2}{\pi }𝒫\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\omega }^{\prime }{\chi }_2({\omega }^{\prime })}{\omega {\text{'}}^2-{\omega }^2}d{\omega }^{\prime }.$

类似的推导亦可用于虚部：

${\chi }_2(\omega )=-\frac{2}{\pi }𝒫\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\omega {\chi }_1({\omega }^{\prime })}{\omega {\text{'}}^2-{\omega }^2}d{\omega }^{\prime }=-\frac{2\omega }{\pi }𝒫\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\chi }_1({\omega }^{\prime })}{\omega {\text{'}}^2-{\omega }^2}d{\omega }^{\prime }.$

该 Kramers-Kronig 关系在物理响应函数上的很有用处。