拉格朗日方程式

約瑟夫·拉格朗日

拉格朗日方程式（Template:Lang），-{因}-數學物理學家约瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力學的重要方程式，可以用來描述物體的運動，特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相當於牛頓力學中的牛頓第二定律。

定義

假設一個物理系統符合完整系統的要求，即所有廣義座標都互相獨立，則拉格朗日方程式成立：

$\frac{d}{dt}\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{𝐪}}-\frac{\partial ℒ}{\partial 𝐪}=\mathrm{𝟎}$；

其中，$ℒ(𝐪,\dot{𝐪},t)$是拉格朗日量，$𝐪=(q_1,q_2,\dots ,q_N)$是廣義座標，是時間$t$的函數，$\dot{𝐪}=({\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_N)$是廣義速度。

導引

在分析力學裏，有三種方法可以導引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用達朗貝爾原理導引出拉格朗日方程式（參閱達朗貝爾原理）；更進階層面，可以從哈密頓原理推導出拉格朗日方程式（參閱哈密頓原理）；最簡明地，可以借用數學變分法的歐拉-拉格朗日方程式來推導：

設定函數$𝐲(x)$和$f(𝐲,\dot{𝐲},x)$：

$𝐲(x)=(y_1(x),y_2(x),\dots ,y_N(x))$、

$\dot{𝐲}(x)=({\dot{y}}_1(x),{\dot{y}}_2(x),\dots ,{\dot{y}}_N(x))$、

$f(𝐲,\dot{𝐲},x)=f(y_1(x),y_2(x),\dots ,y_N(x),{\dot{y}}_1(x),{\dot{y}}_2(x),\dots ,{\dot{y}}_N(x),x)$；

其中，$x$是自變數（Template:Lang）。

若$𝐲(x)\in (C^1[a,b]{)}^N$使泛函$J(𝐲)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(𝐲,\dot{𝐲},x)dx$取得局部平穩值，則在區間$(a,b)$內，歐拉-拉格朗日方程式成立：

$\frac{d}{dx}(\frac{\partial }{\partial {\dot{y}}_i}f(𝐲,\dot{𝐲},x))-\frac{\partial }{\partial y_i}f(𝐲,\dot{𝐲},x)=0,i=1,2,\dots ,N$。

現在，執行下述轉換：

• 設定獨立變數$x$為時間$t$、
• 設定函數$y_i$為廣義坐標$q_i$、
• 設定泛函$f(𝐲,\dot{𝐲},x)$為拉格朗日量$ℒ(𝐪,\dot{𝐪},t)$，

則可得到拉格朗日方程式

$\frac{d}{dt}\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{𝐪}}-\frac{\partial ℒ}{\partial 𝐪}=\mathrm{𝟎}$。

• 為了滿足這轉換的正確性，廣義坐標必須互相獨立，所以，這系統必須是完整系統。
• 拉格朗日量是動能減去位勢，而位勢必須是廣義位勢。所以，這系統必須是單演系統。

半完整系統

主項目：參閱半完整系統

一個不是完整系統的物理系統是非完整系統，不能用上述形式論來分析。假若，一個非完整系統的約束可以以方程式表示為

$g_i(𝐪,\dot{𝐪})=0,i=1,2,3,\dots n$；

則稱此系統為半完整系統。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子${\lambda }_i$：

$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{g}_i=0$；

其中，${\lambda }_i={\lambda }_i(𝐪,\dot{𝐪},t)$是未知函數。

由於這$N$個廣義坐標中，有$n$個相依的廣義坐標，泛函$f(𝐲,\dot{𝐲},x)$不能直接被轉換為拉格朗日量$ℒ$；必須加入拉格朗日乘子，將泛函$f(𝐲,\dot{𝐲},x)$轉換為$ℒ+\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{g}_i$。這樣，可以得到拉格朗日廣義力方程式：

$\frac{d}{dt}\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{𝐪}}-\frac{\partial ℒ}{\partial 𝐪}=ℱ$；

其中，$ℱ$是廣義力，$ℱ=\frac{\partial }{\partial 𝐪}\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{g}_i\right)-\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial }{\partial \dot{𝐪}}\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{g}_i\right)\right]$。

這$N$個廣義力運動方程式加上$n$個約束方程式，給出$N+n$個方程式來解$N$個未知廣義坐標與$n$個拉格朗日乘子。

實例

這個段落會展示拉格朗日方程式的兩個應用實例。第一個實例展示出，用牛頓方法與拉格朗日方法所得的答案相同。第二個實例展示出拉格朗日方法的威力，因為這問題比較不適合用牛頓方法來分析。

自由落體

思考一個粒子從靜止狀態自由地下落。由於重力$F=mg$作用於此粒子，應用牛頓第二定律，可以得到運動方程式

$\ddot{x}=g$；

其中，x-坐標垂直於地面，由初始點（原點）往地面指。

這個結果也可以從拉格朗日形式論得到。動能$T$是

$T=\frac{1}{2}m{v}^2$，

位勢$V$是

$V=-mgx$；

所以，拉格朗日量$ℒ$是

$ℒ=T-V=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+mgx$ 。

將$ℒ$代入拉格朗日方程式，

$0=\frac{d}{dt}\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial ℒ}{\partial x}=m\frac{d\dot{x}}{dt}-mg$。

運動方程式是

$\ddot{x}=g$；

與牛頓方法的運動方程式相同。

具有質量的移動支撐點的簡單擺

思考一個簡單擺系統。系統的x-軸平行於地面，y-軸垂直於x-軸，指向地面。擺錘P的質量是$m$，位置是$(x,y)$。擺繩的長度是$l$。擺的支撐點Q的質量是$M$。這支撐點Q可以沿著一條平行於x-軸的直線移動。點Q的位置是$(X,0)$。擺繩與y-軸的夾角是$\theta$。那麼，動能是

$T=\frac{1}{2}M{\dot{X}}^2+\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)$，

位勢為

$V=-mgy$。

所以，拉格朗日量是

$ℒ=\frac{1}{2}M{\dot{X}}^2+\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)+mgy$。

兩個約束方程式為

$x=X+l\sin \theta$、

$y=l\cos \theta$。

將約束方程式代入拉格朗日量方程式,

$ℒ=\frac{1}{2}M{\dot{X}}^2+\frac{1}{2}m[{(\dot{X}+l\dot{\theta }\cos \theta )}^2+{(l\dot{\theta }\sin \theta )}^2]+mgl\cos \theta$。

特別注意，在這裏，廣義坐標是$X$與$\theta$。應用拉格朗日方程式，經過微分運算，對於$X$坐標，可以得到

$\frac{d}{dt}[(M+m)\dot{X}+ml\dot{\theta }\cos \theta ]=0$。

運動方程式為

$(M+m)\ddot{X}+ml\ddot{\theta }\cos \theta -ml{\dot{\theta }}^2\sin \theta =0$。

由於拉格朗日量不顯含廣義坐標$X$，稱$X$為可略坐標，而其相對應的廣義動量$p_X$是常數$K_1$：

$p_X=(M+m)\dot{X}+ml\dot{\theta }\cos \theta =K_1$。

對於$\theta$坐標，可以得到

$\frac{d}{dt}[m(l^2\dot{\theta }+\dot{X}l\cos \theta )]+m(\dot{X}l\dot{\theta }+gl)\sin \theta =0$；

所以，運動方程式為

$\ddot{\theta }+\frac{\ddot{X}}{l}\cos \theta +\frac{g}{l}\sin \theta =0$。

假如用牛頓第二定律，則必須仔細地辨明所有的相關作用力。這是一項既困難又容易出錯的工作。

相關條目

• 拉格朗日量
• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 牛頓力學
• 變分法