廣義動量

Template:NoteTA 拉格朗日力學與哈密頓力學時常涉及廣義動量。這是因為採用廣義坐標有許多優點。而廣義動量是正則共軛於廣義坐標的物理量，又稱為共軛動量。

假設一個物理系統的廣義坐標是 $(q_1,q_2,q_3,\dots ,q_N)$ ，則廣義速度為 $({\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,{\dot{q}}_3,\dots ,{\dot{q}}_N)$ 。表示廣義動量為 $(p_1,p_2,p_3,\dots ,p_N)$ 。定義廣義動量為拉格朗日量 $ℒ$ 隨廣義速度的導數：

$p_k\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_k}$ ；

廣義動量守恆定律

如果一個物理系統是單演系統與完整系統，那麼，哈密頓原理保證拉格朗日方程式的成立：

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_k}\right)-\frac{\partial ℒ}{\partial q_k}=0$ 。

假若，$ℒ$ 不顯含廣義坐標 $q_k$ ：

$\frac{\partial ℒ}{\partial q_k}=0$ ，

則廣義動量 $p_k$ 是常數。在此種狀況，坐標 $q_k$ 稱為循環坐標，或可略坐標。舉例而言，如果我們用圓柱坐標 $(r,\theta ,h)$ 來描述一個粒子的運動，而 $ℒ$ 與 $\theta$ 無關，則廣義動量是守恆的角動量。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 廣義力
• 正則變換