渐近线

在解析几何和微分学中，曲线的渐近线（Template:Lang-enTemplate:Notetag）是一条使得当$x$或$y$坐标之一或两者趋于无穷大时，曲线与该线之间的距离接近零的线。在射影几何和相关上下文中，曲线的渐近线是在无穷大点处与曲线相切的线。

渐近线分为三种类型：水平、垂直和倾斜。对于由函数$y=f(x)$的图给出的曲线，水平渐近线是水平线，函数的图随着$x$趋于$+\mathrm{\infty }$或$-\mathrm{\infty }$趋近于水平线。垂直渐近线是垂直线，函数在该垂直线附近无限增长。斜渐近线的斜率非零但有限，因此当$x$趋于$+\mathrm{\infty }$或$-\mathrm{\infty }$时，函数的图接近该斜率。

更一般地说，如果两条曲线之间的距离趋于无穷大，则两条曲线之间的距离趋向于零，则一条曲线是另一条曲线的曲线渐近线，尽管术语“渐近线”本身通常是为线性渐近线保留的。

渐近线传达有关大曲线特性的信息，确定函数的渐近线是绘制函数图的重要步骤。从广义上讲，对功能渐近线的研究是渐近分析主题的一部分。当任意曲线上一点$M$沿曲线无限远离原点时，如果$M$到一条直线（或另外一条曲线）的距离无限趋近于零，那么这条直线（曲线）称为这条曲线的渐近线。數學上的定義則是：若函數$y=f\left(x\right)$的圖形收斂，則漸近線為$y=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f\left(x\right)$。

例解

例如，直线$y=\frac{b}{a}x$是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的渐近线，因为双曲线上的点$M$到直线$y=\frac{b}{a}x$的距离$MQ<MN$；当$MN$无限趋近于0时，$MQ$也无限趋近于0。所以按照定义，直线$y=\frac{b}{a}x$是该双曲线的渐近线。同理，直线$y=-\frac{b}{a}x$也是该双曲线的渐近线。

对于$F(x,y)=0$来说，如果当$x\to a$时，有$y\to \pm \mathrm{\infty }$（左右極限不一定相等），就把$x=a$叫做$F(x,y)=0$的垂直渐近线；如果当$x\to \mathrm{\infty }$时，有$y\to b$，就把$y=b$叫做$F(x,y)=0$的水平渐近线。例如，$y=3$是曲线$xy=3x+2$的水平渐近线。

求法

依据

求渐近线，可以依据以下结论：

若极限$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}=a$存在，且极限$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }[f\left(x\right)-ax]=b$也存在，那么曲线$y=f\left(x\right)$具有渐近线$y=ax+b$。

例子

例：求$y=\frac{x^2}{1+x}$的渐近线。

解：(1)$x=-1$为其垂直渐近线。

(2)$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x}{1+x}$，即$a=1$；

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }[f\left(x\right)-ax]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{-x}{1+x}=-1$，即$b=-1$；

所以$y=x-1$也是其渐近线。