幾乎所有
數學中,幾乎所有(Template:Lang-en)表示「除了極少數可忽略的以外,其他都是」。更準確的說法,若是集合,「集合中幾乎所有的元素」表示「集合中,不考慮在某個Template:Link-en子集內元素的其他元素。」「可忽略」的具體意思則依上下文而定,可能是有限集合、可數集或零测集。
相反的,幾乎沒有(almost no)表示「只有極少數可忽略的是」,「集合中幾乎沒有的元素」表示「集合中,只有在某個可忽略子集內的元素」。
不同數學領域中的意思
普遍的意思
數學裡的「幾乎所有」有時會指「无限集合中的元素,只有有限多個不符合,其餘都符合」的情形Template:R。此用法也會用在哲學上Template:R。「幾乎所有」也可以指「不可數集中的元素,只有可數數量的不符合,其餘都符合」的情形Template:R。
例如:
- 幾乎所有正實數都超過1012Template:R。
- 幾乎所有质数都是奇数(只有2例外)[1]
- 幾乎所有多面体都是非正多面體(只有九個例外,五個柏拉圖立體和四個星形正多面體)。
- 若P是非零多項式,則P(x) ≠ 0對幾乎所有的x都成立。
量測理論中的意思

在探討实数時,有時「幾乎所有」是指「除了在某個零测集以外的所有實數。」Template:RTemplate:R。同様地,若S是某個實數集合,則「幾乎所有在集合S裡的數字」是指「除了在某個零测集以外,集合S的所有實數。」Template:R數線可以視為是一維的欧几里得空间。在更廣義的n維空間(n為正整數),其定義則推廣為「除了在某個零测集以外,空間裡的所有點。」Template:R或是「除了在某個零测集以外,集合S裡的所有點。」 (此時,S是空間中點的集合)Template:R。更廣義的說法,「幾乎所有」在测度理論中有時是指幾乎處處Template:RTemplate:R,或是概率论中的几乎必然Template:RTemplate:R。
例子:
- 在测度空间(例如實數)裡,可數集是零测集。有理数的集合可數,因此幾乎所有的實數都是無理數Template:R。
- Template:Link-en證明了代數數的集合也是可數的,因此幾乎所有的實數都是超越數Template:RTemplate:R。
- 幾乎所有實數都是正规数Template:R。
- 康托尔集也是零测集,雖然康托尔集不可數,但幾乎所有實數都不在內Template:R。
- 康托尔函数的導數在单位区间內幾乎所有數字下均為0Template:R。這是以上範例的結果,因為康托尔函数是Template:Link-en,在康托尔集以下,其導數為0。
數論中的意思
Template:Further 数论中的「幾乎所有正整數」可以指「自然密度為1集合裡的正整數」。也就是說,若A是一個正整數的集合,當n趨近無限大時,小於n,在集合A裡的正整數數量,除以小於n的正整數數量,比值趨近於1,則幾乎所有整數都是在集合A內Template:RTemplate:R。
若再進一步推廣,令S是正整數的無窮集合,例如正的偶數集合或是质数集合,若A是S的子集合,且當n趨近無限大時,若集合A裡小於n的元素數量,除以集合S裡小於n的元素數量,比值趨近於1,則可以說幾乎所有集合S裡的元素都在集合A裡。
例子:
- 正整數的Template:Link-en其自然密度為1,因此每一個餘有限集都包括幾乎所有的正整數。
- 幾乎所有正整數都是合数Template:RTemplate:Refn
- 幾乎所有正的偶數都可以表示為二個質數的和Template:R。
- 幾乎所有質數都不是孪生素数。進一步說,針對每一個正整數Template:Mvar,幾乎所有質數的間隙都大於Template:Mvar,幾乎所有質數和其較大質數以及較小質數的間隔都都大於Template:Mvar,也就是說,在Template:Math和Template:Math之間沒有其他的質數Template:R。
拓撲學中的意思
在topologyTemplate:R,特別是动力系统理论中Template:R(包括經濟學的應用)Template:R ,拓扑空间內幾乎所有的點可以指「除了在某個Template:Le以外,所有此空間內的點。」有些則用更限定的定義,子集包括空間內幾乎所有的點,若這個子集包括某個开集的稠密集Template:R。
例子:
- 給定某個Template:Link-en代数簇,在簇內幾乎所有點都符合的性质就是Template:Link-enTemplate:R。這是因為在具有扎里斯基拓扑的不可約代数簇裡,所有非空的開集合都是稠密集
代數中的意思
在抽象代数和数理逻辑中,若U是集合X的超滤子,「集合X內幾乎所有元素」有時是指「U的部份元素內的元素」Template:R。針對任何將X分為二個不交集的集合划分,其中一個不交集包括X裡幾乎所有的元素。Template:R