幾乎所有

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數學中,幾乎所有Template:Lang-en)表示「除了極少數可忽略的以外,其他都是」。更準確的說法,若X集合,「集合X中幾乎所有的元素」表示「集合X中,不考慮在某個Template:Link-en子集內元素的其他元素。」「可忽略」的具體意思則依上下文而定,可能是有限集合可數集零测集

相反的,幾乎沒有(almost no)表示「只有極少數可忽略的是」,「集合X中幾乎沒有的元素」表示「集合X中,只有在某個可忽略子集內的元素」。

不同數學領域中的意思

普遍的意思

數學裡的「幾乎所有」有時會指「无限集合中的元素,只有有限多個不符合,其餘都符合」的情形Template:R。此用法也會用在哲學上Template:R。「幾乎所有」也可以指「不可數集中的元素,只有可數數量的不符合,其餘都符合」的情形Template:R

例如:

量測理論中的意思

Template:Further

康托尔函数是幾乎處處導數都為零的函數

在探討实数時,有時「幾乎所有」是指「除了在某個零测集以外的所有實數。」Template:RTemplate:R。同様地,若S是某個實數集合,則「幾乎所有在集合S裡的數字」是指「除了在某個零测集以外,集合S的所有實數。」Template:R數線可以視為是一維的欧几里得空间。在更廣義的n維空間(n為正整數),其定義則推廣為「除了在某個零测集以外,空間裡的所有點。」Template:R或是「除了在某個零测集以外,集合S裡的所有點。」 (此時,S是空間中點的集合)Template:R。更廣義的說法,「幾乎所有」在测度理論中有時是指幾乎處處Template:RTemplate:R,或是概率论中的几乎必然Template:RTemplate:R

例子:

數論中的意思

Template:Further 数论中的「幾乎所有正整數」可以指「自然密度為1集合裡的正整數」。也就是說,若A是一個正整數的集合,當n趨近無限大時,小於n,在集合A裡的正整數數量,除以小於n的正整數數量,比值趨近於1,則幾乎所有整數都是在集合ATemplate:RTemplate:R

若再進一步推廣,令S是正整數的無窮集合,例如正的偶數集合或是质数集合,若AS的子集合,且當n趨近無限大時,若集合A裡小於n的元素數量,除以集合S裡小於n的元素數量,比值趨近於1,則可以說幾乎所有集合S裡的元素都在集合A裡。

例子:

拓撲學中的意思

topologyTemplate:R,特別是动力系统理论Template:R(包括經濟學的應用)Template:R拓扑空间內幾乎所有的點可以指「除了在某個Template:Le以外,所有此空間內的點。」有些則用更限定的定義,子集包括空間內幾乎所有的點,若這個子集包括某個开集稠密集Template:R

例子:

代數中的意思

抽象代数数理逻辑中,若U是集合X超滤子,「集合X內幾乎所有元素」有時是指「U的部份元素內的元素」Template:R。針對任何將X分為二個不交集集合划分,其中一個不交集包括X裡幾乎所有的元素。Template:R

證明

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相關條目

參考資料

一次文獻

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二次文獻

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外部連結