康托尔函数

区间[0,1]上的康托尔函数

在数学中，以数学家格奥尔格·康托尔命名的康托尔函数，是一个一致连续，却不绝对连续的函数。

定义

康托尔函数 c : [0,1] → [0,1] ，对于x∈[0,1]，其函数值c(x)可由以下步骤得到：

1. 以三进制表示x。
2. 如果x中有数字1，就将第一个1之后的所有数字换成0。
3. 将所有数字2换成数字1。
4. 以二进制读取转换之后的数，这个数即为c(x)。

例如：

• 1/4以三进制表示为0.020202...，其中并没有1，因此经过第二步仍然是0.020202...，第三步转换为0.010101...，将其视为二进制，则为1/3，因此c(1/4)=1/3。
• 1/5以三进制表示为0.01210121...，第二步转换为0.01，由于其中没有2，因此经过第三步后仍是0.01，视为二进制则为1/4，因此c(1/5)=1/4。
• 200/243以三进制表示为0.21102(即0.2110122222...)，第二步转换为0.21，第三步转换为0.11，视为二进制则为3/4，因此c(200/243)=3/4。

其它定义

性质构造

若在[0, 1]上定义的f(x)满足下列四个条件，则f(x)即为康托尔函数：

1. $\mathrm{\forall }0\le x<y\le 1,f(x)\le f(y)$
2. $f(0)=0$
3. $f(\frac{1}{3}x)=\frac{1}{2}f(x)$
4. $f(1-x)=1-f(x)$

迭代构造

下面构造一个函数序列{f_n(x)}，这个序列将收敛于康托尔函数： 首先定义

$f_0(x)=x$

接下来，对于每个正整数n，函数f_n+1(x)都由函数f_n(x)定义：

$f_{n+1}(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\times f_n(3x)& \text{if }0\le x<\frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}& \text{if }\frac{1}{3}\le x<\frac{2}{3}\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times f_n(3x-2)& \text{if }\frac{2}{3}\le x\le 1\end{array}$

检查 f_n(x)是否每个点都收敛于之前定义的康托尔函数，可以发现，

$\underset{x\in [0,1]}{\max }|f_{n+1}(x)-f_n(x)|\le \frac{1}{2}\underset{x\in [0,1]}{\max }|f_n(x)-f_{n-1}(x)|,n\ge 1.$

设f(x)是极限函数, 那么对于任意非负整数n都有，

$\underset{x\in [0,1]}{\max }|f(x)-f_n(x)|\le 2^{-n+1}\underset{x\in [0,1]}{\max }|f_1(x)-f_0(x)|.$

另外可以注意到只要满足f₀(0) = 0, f₀(1) = 1 且f₀ 有界，起始函数f₀(x)具体是什么函数并不重要。