合数

用古氏積木排列出合數10的因數

合數（右側紅色部份）可以用長寬都不是1的長方形來表示，但質數（左側藍色部份）只能用其中一邊長是1的長方形表示

在數論中，合數（也稱為合成數）是除了1和其本身外具有其他正因數的正整數。依照定義，每一個大於1的整數若不是質數，就會是合數。而1則被認為不是質數，也不是合數。

例如，整數14是一個合數，因為它可以被分解成$2\times 7$。而整數2無法再找到本身和1以外的正因數，因此不是合數。

起初120个合数为：Template:數列...等等Template:OEIS。

每一個合數都可以寫成二個或多個質數（不一定是相異質數）的乘積。例如，合數299可以寫成13 × 23，合數360可以寫成2³ × 3² × 5，而且若將質因數依大小排列後，此表示法是唯一的。這是算术基本定理。

有許多的素性测试可以在不進行因數分解的情形下，判斷一數字是質數還是合數。

性質

• 所有大於2的偶數都是合數，也就是在正整數中除了2以外，其餘數的個位數為0、2、4、6、8者均為合數。4為最小的合數。
• 每一合數都可以以唯一形式被寫成質數的乘積。（算術基本定理）
• 所有合數都有至少3個正因數，例如4有正因數1、2、4，6有正因數1、2、3、6。
• 對任一大於5的合數$n$，$(n-1)!\equiv 0(\mathrm{mod}n)$。（威爾遜定理）
• 對於任意的正整數$n$，都可以找到一個正整數$x$，使得$x$、$x+1$、$x+2$、…、$x+n$都是合數。

合數的類型

Template:Euler diagram numbers with many divisors.svg 分類合數的一種方法為計算其質因數的個數。一個可表示為兩個質數之乘積的合數稱為半質數，有三個質因數的合數則稱為楔形數。在一些的應用中，亦可以將合數分為有奇數的質因數的合數及有偶數的質因數的合數。對於後者，

$\mu (n)=(-1{)}^{2x}=1$

（其中μ為默比烏斯函數且$x$為質因數個數的一半），而前者則為

$\mu (n)=(-1{)}^{2x+1}=-1$

注意，對於質數，此函數會傳回-1，且$\mu (1)=1$。而對於有一個或多個重複質因數的數字$n$，$\mu (n)=0$。

另一種分類合數的方法為計算其正因數的個數。所有的合數都至少有三個正因數。一質數$p$的平方，其正因數有$\{1,p,p^2\}$。一數若有著比它小的整數都還多的正因數，則稱此數為高合成數。另外，完全平方數的正因數個數為奇數個，而其他的合數則皆為偶數個。

還有一種將合數分類的方式，是檢查其質因數是否都比特定數字大，或是比特定數字小。這些會稱為光滑數或粗糙數。

參考文獻

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相關條目

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