第二基本形式

微分几何中，第二基本形式（Template:Lang）是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式，通常记作 II。与第一基本形式一起，他们可定义曲面的外部不变量，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中或洛伦兹流形中，的一个光滑超曲面上，选取了一个光滑单位法向量场，则可定义这样一个二形式。

${𝐑}^3$中曲面

引论

${𝐑}^3$中一个参数曲面$S$的第二基本形式由高斯引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像，$z=f(x,y)$，且平面$z=0$与曲面在原点相切。则$f$以及关于$x$和$y$的偏导数在$(0,0)$皆为零。从而$f$在$(0,0)$处的泰勒展开以二次项开始：

$z=f_{xx}\frac{x^2}{2}+f_{xy}xy+f_{yy}\frac{y^2}{2}+o(n)$，

记 $L=f_{xx},M=f_{xy},N=f_{yy}$, 则在$(x,y)$坐标中原点处的第二基本形式是二次型：

$Ld{x}^2+2Mdxdy+Nd{y}^2.$

对 参数曲面$S$上一个光滑点$p$，总可以选取坐标系使得坐标的 z-平面与$S$切于$p$，然后可以相同的方式定义第二基本形式。

经典记号

一个一般参数曲面的第二基本形式定义如下。设$𝐫=𝐫(u,v)$ 是${𝐑}^3$中一个正则参数曲面，这里$𝐫$是两个变量的光滑向量值函数。通常记$𝐫$关于$u$和$v$的偏导数为${𝐫}_u$与${𝐫}_v$。参数化的正则性意味着${𝐫}_u$与${𝐫}_v$对$𝐫$的定义域中任何$(u,v)$是线性无关的。等价地，叉积${𝐫}_u\times {𝐫}_v$是曲面的一个非零法向量。参数化这样就定义了一个单位法向量场$𝐧(u,v)$：

$𝐧=\frac{{𝐫}_u\times {𝐫}_v}{|{𝐫}_u\times {𝐫}_v|}.$

第二基本形式通常写成

$\mathrm{I}\mathrm{I}=Ld{u}^2+2Mdudv+Nd{v}^2,$

在基$\{{𝐫}_u,{𝐫}_v\}$下的矩阵是

$\left[\begin{array}{cc}L& M\\ M& N\end{array}\right].$

在参数化 uv-平面上一个给定点处系数$L$, $M$, $N$由$𝐫$在那个点的二次偏导数到$S$的法线上投影给出，利用点积可计算如下：

$L={𝐫}_{uu}\cdot 𝐧,M={𝐫}_{uv}\cdot 𝐧,N={𝐫}_{vv}\cdot 𝐧.$

现代记法

一个通常曲面$S$的第二基本形式定义如下：设$𝐫=𝐫(u^1,u^2)$是${𝐑}^3$中一个正则参数曲面，这里$𝐫$是两个变量的光滑向量值函数。通常记$𝐫$关于$u^{\alpha }$的偏导数为${𝐫}_{\alpha }$，$\alpha =1,2$。参数化的正则性意味着${𝐫}_1$与${𝐫}_2$在$𝐫$的定义域上是线性无关的，从而在每一点张成$𝐒$的切空间。等价地，叉积${𝐫}_1\times {𝐫}_2$是曲面的一个非零法向量。这样参数化定义了一个单位法向量场$𝐧$：

$𝐧=\frac{{𝐫}_1\times {𝐫}_2}{|{𝐫}_1\times {𝐫}_2|}$

第二基本形式通常写作

$\mathrm{I}\mathrm{I}=b_{\alpha \beta }d{u}^{\alpha }d{u}^{\beta }$

上式使用了爱因斯坦求和约定。

在参数$(u^1,u^2)$-曲面给定点处系数$b_{\alpha \beta }$由$𝐫$的二次偏导数到$S$的法线的投影给出，利用点积可写成：

$b_{\alpha \beta }={𝐫}_{\alpha \beta }\cdot 𝐧$

黎曼流形中的超曲面

在欧几里得空间中，第二基本形式由

$II(v,w)=⟨d\nu (v),w⟩$

给出，这里 $\nu$ 是高斯映射，而 $d\nu$ 是 $\nu$ 的微分视为一个向量值微分形式，括号表示欧几里得空间的度量张量。

更一般地，在一个黎曼流形上，第二基本形式是描述一个超曲面形算子（记作$S$）的等价方法，

$\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)=⟨S(v),w⟩=-⟨{\mathrm{\nabla }}_{v}n,w⟩=⟨n,{\mathrm{\nabla }}_{v}w⟩,$

这里 ${\mathrm{\nabla }}_{v}w$ 表示周围空间的共变导数，$n$超曲面上一个法向量场。如果仿射联络是无挠的，则第二基本形式是对称的。

第二基本形式的符号取决于$n$的方向的选取。（这称为曲面的余定向，对欧几里得空间中的曲面，等价于给定曲面的一个定向）。

推广为任意餘维数

第二基本形式可以推广到任意餘維數。在这种情形下，它是切空间上取值于法丛的一个二次型，可以定义为

$\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)=({\mathrm{\nabla }}_{v}w{)}^{\mathrm{\perp }},$

这里 $({\mathrm{\nabla }}_{v}w{)}^{\mathrm{\perp }}$ 表示共变导数 ${\mathrm{\nabla }}_{v}w$ 到法丛的正交投影。

在欧几里得空间中，子流形的曲率张量可以描述为下列公式：

$⟨R(u,v)w,z⟩=⟨\mathrm{I}\mathrm{I}(u,z),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)⟩-⟨\mathrm{I}\mathrm{I}(u,w),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,z)⟩.$

这叫做高斯方程，可以视为高斯绝妙定理的推广。在一个标准正交基中第二基本形式的本征值，是曲面的主曲率。一组正交规范本征向量称为主方向。

对一般的黎曼流形必须添加周围空间的曲率；如果$N$是嵌入黎曼流形$(M,g)$中一个流形，则$N$在诱导度量下的曲率张量 $R_N$ 可以用第二基本形式与$M$的曲率张量 $R_M$ 表示出来：

$⟨R_N(u,v)w,z⟩=⟨R_M(u,v)w,z⟩+⟨\mathrm{I}\mathrm{I}(u,z),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,w)⟩-⟨\mathrm{I}\mathrm{I}(u,w),\mathrm{I}\mathrm{I}(v,z)⟩.$

相关条目

• 第一基本形式
• 高斯曲率
• 高斯-科达齐方程

参考文献

• Template:Cite book
• Template:Cite book
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外部链接

• 关于第二基本形式的几何的一篇博士论文，作者为 Steven Verpoort: -{R|https://lirias.kuleuven.be/bitstream/1979/1779/2/hierrrissiedan!.pdf}- Template:Wayback