巴拿赫-阿勞格魯定理

泛函分析和鄰近數學分支中，巴拿赫-阿勞格魯定理或阿勞格魯定理（Template:Lang-en或Template:Lang）斷言，任意賦範向量空間的連續對偶空間中，閉單位球在弱*拓撲中為緊。常見證明將弱*拓撲中的單位球看成一系列緊集之積的閉子集。根據吉洪诺夫定理，該些緊集的積拓撲空間仍為緊，故該球亦然。

定理在量子力學方面有應用。系統的可觀測量是某個C*代數中的自伴算子，而量子態則是該代數上的線性泛函。此框架下，定理可以推出，每個量子態皆是純態的凸線性組合。

歷史

納里奇（Template:Lang）與貝肯斯坦（Template:Lang）書中，稱阿勞格魯定理為「非常重要的結果——也許是關於Template:Le唯一（Template:Lang）最重要的事——迴響傳遍泛函分析。」Template:Sfn1912年，赫利（Template:Lang）證明，閉區間上連續函數的空間$C([a,b])$，其連續對偶空間的單位球，為弱*Template:Le。Template:Sfn1932年，斯特凡·巴拿赫證明，任何可分賦範向量空間的連續對偶中，閉單位球必為弱*序列緊（他僅考慮了序列紧）。Template:Sfn 一般情況的證明，是由Template:Link-en於1940年發表。納里奇與貝肯斯坦書中，引述Pietsch [2007]指，至少有12個數學家可以主張自己證明此定理或某個重要前身。Template:Sfn

布爾巴基-阿勞格魯定理（Template:Lang-en）是尼古拉·布尔巴基將原定理推廣到Template:Link-en的Template:Link-en的結果。此定理亦稱為巴拿赫-阿勞格魯定理或弱*緊定理（Template:Lang-en），也常簡稱為阿勞格魯定理（Template:Lang-en）。Template:Sfn

敍述

一般敍述

對於域$𝕂$上的向量空間$X$，以$X^{\mathrm{\#}}$表示其代數對偶（所有線性泛函組成的空間）。兩者由雙線性求值映射$⟨\cdot ,\cdot ⟩:X\times X^{\mathrm{\#}}\to 𝕂$所聯繫，該映射由

$⟨x,f⟩:=f(x)$

定義。所以，三元組$⟨X,X^{\mathrm{\#}}⟩$（兩個空間及一個映射）組成Template:Link-en，稱為典範對偶系。

若$X$進一步具有拓撲，即為拓撲向量空間（TVS），則可分辨其上的函數連續與否，並定義其連續對偶$X^{\prime }$為代數對偶$X^{\mathrm{\#}}$中，連續泛函組成的子集。以$\sigma (X^{\mathrm{\#}},X)$表示$X^{\mathrm{\#}}$上的Template:Link-en。類似有$\sigma (X^{\prime },X)$是$X^{\prime }$上的弱*拓撲。

弱*拓撲又稱逐點收斂拓撲，因為給定映射$f$和一網映射$f_{\bullet }={\left(f_i\right)}_{i\in I}$，網$f_{\bullet }$在弱*拓撲中收斂至$f$，當且僅當對定義域中每點$x$，函數值組成的網${(f_i(x))}_{i\in I}$收斂到$f(x)$。

阿勞格魯定理Template:Sfn

設$X$為任意拓撲向量空間（無需豪斯多夫或Template:Link-en），$X^{\prime }$為其連續對偶，則對於$X$中原點的任何鄰域$U$（$0\in U\subseteq X$），其Template:Link-en

$U^{\circ }=\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\underset{x\in U}{\sup }|x^{\prime }(x)|\le 1\}\subseteq X^{\prime },$

在$X^{\prime }$上的Template:LeTemplate:註$\sigma (X^{\prime },X)$中，必為緊集。

此外，$U^{\circ }$亦是$U$相對於典範對偶系$⟨X,X^{\mathrm{\#}}⟩$的極集，在拓撲空間$(X^{\mathrm{\#}},\sigma (X^{\mathrm{\#}},X))$同樣為緊。

賦範特例

若$X$為賦範向量空間，則原點鄰域的極集，在對偶空間中為閉，且其範數有上界。特別地，若$U$為$X$的開（或閉）單位球，則$U$的極集為連續對偶空間$X^{\prime }$的閉單位球（對偶空間配備平常的對偶範數）。此時，定理化為以下特例：

巴拿赫-阿勞格魯定理

若$X$為賦範空間，則連續對偶空間$X^{\prime }$中，算子範數的閉單位球，為Template:Link-en中的緊集。

當$X$的連續對偶$X^{\prime }$是無窮維賦範空間時，$X^{\prime }$中的閉單位球，不可能是平常範數拓撲的緊集。原因是，範數拓撲的閉單位球為緊，當且僅當空間為有限維（見Template:Link-en）。此定理顯示出，在同一個向量空間上，考慮不同的拓撲，到㡳有何用。

但注意，巴拿赫-阿勞格魯定理並不推出弱*拓撲為局部緊，因為僅知閉單位球在Template:Link-en中為原點的鄰域，在弱*拓撲中則不一定。弱*拓撲中，單位球的內部可能為空，除非空間為有限維。實際上，韋伊證明，局部緊的豪斯多夫拓撲向量空間必為有限維。

證明

對偶理論證明

記$X$的基域為$𝕂$，此處為實數域$ℝ$或複數域$ℂ$。證明會用到Template:Link-en、Template:Link-en、连续线性算子的基本性質，可參見該些條目，以下亦會簡單提及。

先列舉一些常見定義和性質。當代數對偶$X^{\mathrm{\#}}$配備Template:Link-en$\sigma (X^{\mathrm{\#}},X)$時，為一個豪斯多夫Template:Link-en拓撲向量空間，記為$(X^{\mathrm{\#}},\sigma (X^{\mathrm{\#}},X))$。空間$(X^{\mathrm{\#}},\sigma (X^{\mathrm{\#}},X))$總是Template:Link-en，但連續對偶$(X^{\prime },\sigma (X^{\prime },X))$則不一定，此即證明需牽涉$(X^{\mathrm{\#}},\sigma (X^{\mathrm{\#}},X))$的原因。具體而言，本證明用到的性質是：完備豪斯多夫空間的子集為緊，當且僅當其為閉，且Template:Link-en。注意$X^{\prime }$從$(X^{\mathrm{\#}},\sigma (X^{\mathrm{\#}},X))$繼承的子空間拓撲，等於弱*拓撲$\sigma (X^{\prime },X)$。為驗證此事，只需檢查對每個$x^{\prime }\in X^{\prime }$，$X^{\prime }$中的網在其中一個拓撲中收斂到$x^{\prime }$，當且僅當在另一個拓撲中亦然（因為兩個拓撲結構相等，當且僅當其具有的收斂網完全一樣）。

三元組$⟨X,X^{\prime }⟩$也是Template:Link-en（有雙線性映射$(x,f)\mapsto f(x)$），但與$⟨X,X^{\mathrm{\#}}⟩$不同，前者一般而言未必是對偶系。以下定義極集時，會註明是對於何種對偶而言。

設$U$為$X$原點的鄰域，又設：

• $U^{\circ }=\{f\in X^{\prime }:\underset{u\in U}{\sup }|f(u)|\le 1\}$為$U$相對$⟨X,X^{\prime }⟩$的極集；
• $U^{\circ \circ }=\{x\in X:\underset{f\in U^{\circ }}{\sup }|f(x)|\le 1\}$為$U$相對$⟨X,X^{\prime }⟩$的Template:Le；
• $U^{\mathrm{\#}}=\{f\in X^{\mathrm{\#}}:\underset{u\in U}{\sup }|f(u)|\le 1\}$為$U$相對$⟨X,X^{\mathrm{\#}}⟩$的極集。

極集的基本性質有$U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }$。

下證巴拿赫-阿勞格魯定理，分若干步：

1. 先證$U^{\mathrm{\#}}$在拓撲$\sigma (X^{\mathrm{\#}},X)$中為$X^{\mathrm{\#}}$的閉子集：設$f\in X^{\mathrm{\#}}$，又假設$f_{\bullet }={\left(f_i\right)}_{i\in I}$為$U^{\mathrm{\#}}$中的網，在$(X^{\mathrm{\#}},\sigma (X^{\mathrm{\#}},X))$中收斂到$f$。欲證$f\in U^{\mathrm{\#}}$，即$|f(u)|\le 1$對任意$u\in U$皆成立。因為在純量域$𝕂$中，$f_i(u)\to f(u)$，而每個值$f_i(u)$皆屬於（$𝕂$的）閉子集$\{s\in 𝕂:|s|\le 1\}$，故網的極限$f(u)$亦必在該子集中。於是$|f(u)|\le 1$。
2. 其次，欲證$U^{\mathrm{\#}}=U^{\circ }$，以推出$U^{\circ }$既是$(X^{\mathrm{\#}},\sigma (X^{\mathrm{\#}},X))$的閉子集，亦是$(X^{\prime },\sigma (X^{\prime },X))$的閉子集：有包含關係$U^{\circ }\subseteq U^{\mathrm{\#}}$，因為連續線性泛函尤其是線性泛函。反之，欲證$U^{\mathrm{\#}}\subseteq U^{\circ }$，設$f\in U^{\mathrm{\#}}$滿足$\underset{u\in U}{\sup }|f(u)|\le 1$，換言之線性泛函$f$在鄰域$U$上有界，而泛函有界等價於連續，故$f\in X^{\prime }$，從而$f\in U^{\circ }$，即所求證。用第1步，結合交集$U^{\mathrm{\#}}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }$在$X^{\prime }$的子空間拓撲中為閉，推得$U^{\circ }$為閉。
3. 欲證$U^{\circ }$對$X^{\prime }$的$\sigma (X^{\prime },X)$拓撲而言是Template:Link-en子集：由Template:Link-en，$U\subseteq U^{\circ \circ }$，又因為鄰域$U$為$X$中的吸收集，$U^{\circ \circ }$亦同。可以證明，此結論推出$U^{\circ }$是$X^{\prime }$對$\sigma (X^{\prime },X)$而言的Template:Link-en。由於$X$Template:Link-en$X^{\prime }$各點，$X^{\prime }$的子集在$\sigma (X^{\prime },X)$意義下有界，當且僅當在同樣意義下Template:Link-en。所以，尤其有$U^{\circ }$在$\sigma (X^{\prime },X)$意義下完全有界。
4. 欲證$U^{\circ }$亦為$X^{\mathrm{\#}}$在$\sigma (X^{\mathrm{\#}},X)$拓撲下的完全有界子集：已知$X^{\prime }$上，$\sigma (X^{\prime },X)$拓撲等於$X^{\prime }$從$(X^{\mathrm{\#}},\sigma (X^{\mathrm{\#}},X))$繼承的子空間拓撲，結合第3步與「完全有界」的定義，即推出$U^{\circ }$為$X^{\mathrm{\#}}$在$\sigma (X^{\mathrm{\#}},X)$拓撲下的完全有界子集。
5. 最後，欲證$U^{\circ }$為$X^{\prime }$在$\sigma (X^{\prime },X)$拓撲下的緊子集：因為$(X^{\mathrm{\#}},\sigma (X^{\mathrm{\#}},X))$為Template:Link-en，又$U^{\circ }$為其閉（第2步）而完全有界（第4步）的子集，所以$U^{\circ }$為緊。定理證畢。

較初等的證明

以下證明，僅用到集合論、點集拓撲、泛函分析的基本概念。拓撲方面，需要熟悉使用拓扑空间中的網、積拓撲、兩者與逐點收斂的關聯（為方便起見，證明中也會給出部分細節）。同時也要瞭解，線性泛函為連續，當且僅當其在原點的某個鄰域上有界（見Template:Link-en）。

設向量空間$X$的基域為$𝕂$，為實數系$ℝ$或複數系$ℂ$兩者之一。對任意實數$r$，以

$B_r:=\{s\in 𝕂:|s|\le r\}$

表示以原點為球心，半徑為$r$的閉球。在$𝕂$中，此為緊的闭集。

極集的等價表示

由於$U$是$X$中原點的鄰域，可知$U$亦是$X$的吸收集，即對每個$x\in X$，皆有正實數$r_x>0$使$x\in r_{x}U:=\{r_{x}u:u\in U\}$。以

$U^{\mathrm{\#}}:=\{f\in X^{\mathrm{\#}}:\underset{u\in U}{\sup }|f(u)|\le 1\}=\{f\in X^{\mathrm{\#}}:f(U)\subseteq B_1\}$

表示$U$相對典範對偶系$⟨X,X^{\mathrm{\#}}⟩$的極集。將證明，此極集$U^{\mathrm{\#}}$，與定理提到，$U$相對$⟨X,X^{\prime }⟩$的極集$U^{\circ }$，兩者相等。

$U^{\circ }\subseteq U^{\mathrm{\#}}$成立，是因為連續線性泛函按定義必是線性泛函。反之，欲證$U^{\mathrm{\#}}\subseteq U^{\circ }$，設$f\in U^{\mathrm{\#}}$滿足$\underset{u\in U}{\sup }|f(u)|\le 1$，即線性泛函$f$在鄰域$U$上有界。所以$f$是连续线性算子（換言之$f\in X^{\prime }$），從而有$f\in U^{\circ }$，即所求證。

至此，已證明$U^{\circ }=U^{\mathrm{\#}}$Template:註，餘下的證明中，需理解笛卡儿积$\prod _{x\in X}𝕂$與所有$X\to 𝕂$的映射構成的空間${𝕂}^X$等同。仍需證明以下兩個命題：

1. $U^{\circ }$為${𝕂}^X$的閉子集。Template:Anchor
   • 此處${𝕂}^X=\prod _{x\in X}𝕂$配備的是逐點收斂拓撲，等同於積拓撲。
2. $U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}{B}_{r_x}.$
   • 其中$B_{r_x}\subseteq 𝕂$表示以原點$0$為球心，$r_x$為半徑的閉球。本證明開始時，對每個$x\in X$， 已定義$r_x$為使$x\in r_{x}U$的任意一個實數$r_x>0$。特別地，對於$u\in U$，可以選$r_u:=1$。

以上命題推出，$U^{\circ }$為$\prod _{x\in X}{B}_{r_x}$的閉子集，而由吉洪诺夫定理，該积空间為緊Template:註（因為每個閉球$B_{r_x}$皆為緊）。因為緊空間的閉子集仍為緊，所以有$U^{\circ }$為緊集，從而證畢巴拿赫-阿勞格魯定理的主要結論。

極集為閉

以下證明前述命題1。代數對偶$X^{\mathrm{\#}}$總是積空間${𝕂}^X=\prod _{x\in X}𝕂$ 的閉子集Template:註。要證明$U^{\circ }$在${𝕂}^X$中為閉，祇需證明集合

${\tilde{U}}^{\circ }:=\{f\in {𝕂}^X:\underset{u\in U}{\sup }|f(u)|\le 1\}$

是${𝕂}^X$的閉子集，因為若有此結論，則${\tilde{U}}^{\circ }\cap X^{\mathrm{\#}}=U^{\mathrm{\#}}=U^{\circ }$是${𝕂}^X$中兩閉集之交，故亦為閉集。

設$f\in {𝕂}^X$，又設$f_{\bullet }={\left(f_i\right)}_{i\in I}$為${\tilde{U}}^{\circ }$中的網，在${𝕂}^X$中收斂到$f$。需要證明$f\in {\tilde{U}}^{\circ }$。換言之，要證對每個$u\in U$，$|f(u)|\le 1$（或等價寫成$f(u)\in B_1$）。由於在純量域$𝕂$中，${(f_i(u))}_{i\in I}\to f(u)$，且每項$f_i(u)$皆屬於$𝕂$中的閉子集$B_1=\{s\in 𝕂:|s|\le 1\}$，此網的極限$f(u)$亦必屬於該閉集，即$f(u)\in B_1$。證畢命題1。

上述證明可以推廣，以論證以下命題：

設$U\subseteq X$為任意集合，$B\subseteq Y$為拓撲空間$Y$的閉子集，則在$Y^X$的逐點收斂拓撲中，$P_U:=\{f\in Y^X:f(U)\subseteq B\}$為閉子集。

命題1為其特殊情況，取$Y:=𝕂$和$B:=B_1$便得。

極集包含於緊空間之積

以下證明前述命題2。對任意$z\in X$，以$\mathrm{Pr}{}_z:\prod _{x\in X}𝕂\to 𝕂$表示到第$z$個坐標的Template:Le。欲證$U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}{B}_{r_x}$。換言之，欲對每個$x\in X$，證明$\mathrm{Pr}{}_x(U^{\circ })\subseteq B_{r_x}$。

於是選定$x\in X$，設$f\in U^{\circ }$；要證$\mathrm{Pr}{}_x(f):=f(x)\in B_{r_x}$。由$r_x$的定義，$x\in r_{x}U$，故$u_x:=\left(\frac{1}{r_x}\right)x\in U$。因為$f\in U^{\circ }=U^{\mathrm{\#}}$，線性泛函$f$滿足$\underset{u\in U}{\sup }|f(u)|\le 1$，所以由$u_x\in U$，可知

$\frac{1}{r_x}|f(x)|=|\frac{1}{r_x}f(x)|=\left|f\left(\frac{1}{r_x}x\right)\right|=\left|f\left(u_x\right)\right|\le \underset{u\in U}{\sup }|f(u)|\le 1.$

所以$|f(x)|\le r_x$，即$f(x)\in B_{r_x}$，證畢命題2。

序列版本

巴拿赫-阿勞格魯定理有個特殊情況，對可分空间使用，並將「緊」換成「序列緊」。此時定理斷言：

可分賦範向量空間的對偶中，閉單位球在弱*拓撲下是序列紧。

可度量

實際上，可分空間的對偶的閉單位球上，弱*拓撲可度量，故緊與序列緊等價。

明確而言，設$X$為可分賦範向量空間，而$B$為連續對偶$X^{\prime }$中的閉單位球。根據$X$可分的定義，有某個可數稠密子集，列舉為$x_{\bullet }={\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$。則下式定義一個度量：對於$x,y\in B$，

$\rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-n}\frac{|⟨x-y,x_n⟩|}{1+|⟨x-y,x_n⟩|,}$

其中$⟨\cdot ,\cdot ⟩$表示$X^{\prime }$與$X$的對偶匹配，即將後一個元素代入到前一個元素求值。此度量下，$B$為序列緊之事，用類似阿尔泽拉-阿斯科利定理的對角線證法，即可證明。

由於證明本質為構造性（而非如一般情況，用到非構造性的選擇公理），在偏微分方程學中，有時使用序列巴拿赫-阿勞格魯定理，構造偏微分方程或變分問題的解。舉例，若有某個可分賦範空間$X$，其對偶上有泛函$F:X^{\prime }\to ℝ$，欲求最小值，則常見策略是先構造序列$x_1,x_2,\dots \in X^{\prime }$，使$F$的泛函值趨向下確界，然後訴諸序列巴拿赫-阿勞格魯定理，取出子序列$(x_{n_k}{)}_k$，在弱*拓撲下收斂到極限$x$，並確定$x$使$F$取最小值。最後一步通常要求$F$在弱*拓撲下為（序列）下半連續。

考慮另一個例子，設$X=C_0(ℝ)$為實軸上，在無窮遠處消失的連續函數組成的空間，則由里斯-馬可夫表示定理，$X^{\prime }$為實軸上全體有限拉東測度的空間。此時序列巴拿赫-阿勞格魯定理等價於Template:Link-en。

證明

下證序列版本的巴拿赫-阿勞格魯定理。

對每個$x\in X$，設

$D_x=\{z\in ℂ:|z|\le \Vert x\Vert \},$

以及

$D=\prod _{x\in X}{D}_x.$

因為$D_x$是複平面的緊子集，$D$在積拓撲中亦為緊（根據吉洪诺夫定理）。

$X^{\prime }$中的閉單位球$B_1\left(X^{\prime }\right)$，可以自然地看成$D$的子空間：考慮映射

$f\in B_1\left(X^{\prime }\right)\mapsto (f(x){)}_{x\in X}\in D,$

其為單射，且對於$B_1\left(X^{\prime }\right)$的弱*拓撲和$D$的積拓撲而言，是連續映射。在像集上，映射的逆也連續。

欲完成定理的證明，只需證明映射的像為閉集。給定網$D$中的網

${(f_{\alpha }(x))}_{x\in X}\to {\left({\lambda }_x\right)}_{x\in X},$

等式$g(x)={\lambda }_x$定義的泛函$g$，也在$B_1(X^{\prime })$中。定理證畢。

推論

賦範空間

假設$X$為賦範空間，則其連續對偶空間$X^{\prime }$具有对偶范数。

• $X^{\prime }$中的閉單位球為弱*緊Template:Sfn。相比之下，若$X^{\prime }$為無窮維，則其閉單位球在範數拓撲中必不為緊（Template:Link-en）。
• 某巴拿赫空间自反，當且僅當其閉單位球在弱拓撲$\sigma (X,X^{\prime })$下為緊。Template:Sfn
• 若$X$為自反巴拿赫空間，則$X$中每個有界序列，都有弱收斂子列。（此為對$X$某個弱可度量子空間應用巴拿赫-阿勞格魯定理的結果。更簡潔而言，是應用Template:Link-en。）舉例，設$X$為L^p空間$L^p(\mu )$，其中$1<p<\mathrm{\infty }$。設$(f_n{)}_n$為$X$中函數組成的有界序列。則存在子列$(f_{n_k}{)}_k$，且有$f\in X$使得$$\int f_{n_k}g\mathrm{d}\mu \to \int fg\mathrm{d}\mu$$對於$X^{\prime }=L^q(\mu )$中的任意函數$g$成立，其中$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。對於$p=1$，沒有相應的結論，因為$L^1(\mu )$不自反。

希爾伯特空間

• 任意希爾伯特空間中，閉有界集必然弱Template:Le，即其在弱拓撲的閉包為弱緊，故每個有界網必有弱收斂子網（希爾伯特空間皆自反）。
• 由哈恩－巴拿赫定理，範數拓撲中的閉凸集，在弱拓撲中也是閉集，故希爾伯特空間或自反巴拿赫空間中，凸有界集的範數閉包必為弱緊。
• 設$H$為希爾伯特空間，$B(H)$為其上有界算子的空間，則$B(H)$可以配備以下兩種不同的拓撲：一則Template:Link-en，即$B(H)$作為跡類算子空間$B_1(H)$的對偶所具備的弱*拓撲；二則Template:Link-en，是使形如$T\mapsto ⟨Tx,y⟩$的映射皆連續的最弱的拓撲，此拓撲比超弱拓撲更弱。此定義下，$B(H)$中的閉有界子集，關於弱算子拓撲為相對緊。所以，算子的有界序列必有某個弱極限點。其推論是，$B(H)$配備弱算子拓撲或超弱拓撲時，滿足海涅-博雷尔性質。

與選擇公理的關係

通常，會用到吉洪诺夫定理來證明巴拿赫-阿勞格魯定理，所以要依賴於ZFC公理系統，尤其是选择公理。主流泛函分析中，許多結果皆依賴選擇公理。然而，本定理在可分空間的情況（見Template:Section link）並不依賴選擇公理，該情況下有構造性證明。對於不可分的情況，Template:Link-en比選擇公理嚴格弱，但亦足以證明巴拿赫-阿勞格魯定理。反之，巴拿赫-阿勞格魯定理也推出超濾子引理，所以兩者等價。

參見

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• Template:鏈解

參考資料

• Template:Cite book見§20.9。
• Template:Cite book 見Theorem 23.5，p. 264。
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• Template:Cite book 見Theorem 3.15，p. 68。
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