对偶范数

Template:Unreferenced 对偶范数是数学中泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间的对偶空间时，常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。

定义

对偶空间

Template:Main 给定一个系数域为$𝔽$赋范向量空间（比如说一个巴拿赫空间）Template:Math（其中$𝔽$通常是实数域$ℝ$或复数域$ℂ$），所有从Template:Math到$𝔽$上的连续线性映射（也称为连续线性泛函）的集合称为Template:Math的（连续）对偶空间，记作：Template:Math.

对偶范数

可以证明，Template:Math是一个向量空间。其上可以装备不同的范数。对偶范数（$\Vert \cdot {\Vert }^{\prime }$）是一种自然的范数定义方式，定义为：

$\mathrm{\forall }f\in E^{\prime },\Vert f{\Vert }^{\prime }=\sup \{|f(x)|;\Vert x\Vert ⩽1\}=\sup \{\frac{|f(x)|}{\Vert x\Vert };x\ne 0\}$

由于Template:Math中的元素的是连续线性泛函，所以按照以上定义的范数必然存在，是一个有限正实数。引进了对偶范数後，Template:Math成为一个赋范线性空间。可以证明，Template:Math在对偶范数下必然是完备的，所以Template:Math是巴拿赫空间。

证明：

给定一个由Template:Math中元素构成的柯西序列：$(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$，其中每一个$f_n$都是Template:Math-线性泛函。由柯西序列的定义可知，

$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},$ 使得$\mathrm{\forall }n,m>N,\Vert f_n-f_m{\Vert }^{\prime }<ϵ.$

所以对Template:Math中任何元素Template:Math，都有：

$\mathrm{\forall }n,m>N,|f_n(x)-f_m(x)|=|(f_n-f_m)(x)|⩽\Vert f_n-f_m{\Vert }^{\prime }\Vert x\Vert <ϵ\Vert x\Vert .$

这说明${(f_n(x))}_{n\in \mathbb{N}}$是柯西数列，因而收敛：数列的极限存在。定义函数$f:E\to 𝔽$如下：

$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x).$

这样定义的函数Template:Math 是连续线性泛函，属于Template:Math。事实上：

1. Template:Math 是线性映射：

   $\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in 𝔽,x,y\in E,$

   $f(\alpha x+\beta y)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(\alpha x+\beta y)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\alpha f_n(x)+\beta f_n(y)]=\alpha \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)+\beta \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(y)=\alpha f(x)+\beta f(y).$

2. Template:Math 是连续映射：

   将$ϵ$定为1，则存在$N_1\in \mathbb{N}$，使得$\mathrm{\forall }n>N_1$，都有$\Vert f_n-f_{N_1}{\Vert }^{\prime }<1$，这说明：

   $\mathrm{\forall }n>N_1,\Vert f_n{\Vert }^{\prime }⩽\Vert f_{N_1}{\Vert }^{\prime }+1.$ 因此，$\mathrm{\forall }n>N_1,x\in E,\Vert x\Vert <1,$ 都有$|f_n(x)|⩽\Vert f_n{\Vert }^{\prime }\Vert x\Vert ⩽\Vert f_n{\Vert }^{\prime }⩽\Vert f_{N_1}{\Vert }^{\prime }+1.$

   当$n$趋向无穷大时，就有：$|f(x)|⩽\Vert f_{N_1}{\Vert }^{\prime }+1$。这说明Template:Math 是连续映射。

最后证明Template:Math 是序列$(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$在对偶范数下的极限：

给定$ϵ>0$，总能找到$N\in \mathbb{N}$，使得：

$\mathrm{\forall }n,m>N,\Vert f_n-f_m{\Vert }^{\prime }<ϵ,$ 所以，$\mathrm{\forall }x\in E,\Vert x\Vert ⩽1,$

$|f_n(x)-f_m(x)|⩽\Vert f_n-f_m{\Vert }^{\prime }\Vert x\Vert ⩽\Vert f_n-f_m{\Vert }^{\prime }<ϵ.$

当$m$趋向无穷大时，就有：$|f_n(x)-f(x)|⩽ϵ.$

因此，$\mathrm{\forall }n>N,\Vert f_n-f{\Vert }^{\prime }=\sup \{|f_n(x)-f(x)|;\Vert x\Vert ⩽1\}⩽ϵ.$

这说明序列$(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$在对偶范数下收敛到Template:Math。所以Template:Math是完备空间。

例子

给定两个大于1的实数Template:Math和Template:Math。如果两者满足：$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，那么序列空间${\ell }^p$和${\ell }^q$互相是对偶空间（在同构的意义上）。${\ell }^p$装备的是序列p-范数之时，它的对偶空间装备的对偶范数可以和装备了序列q-范数的${\ell }^q$建立等距同构。当$p=q=2$时，以上性质说明，${\ell }^2$和自身对偶。