弱*拓撲

弱*拓撲是賦範向量空間的對偶空間上的一種拓撲。弱*拓撲的的重要性，在於它使得單位球是緊集（巴拿赫-阿勞格魯定理）；相反地在線性算子範數誘發的拓撲中，單位球未必緊緻。（結果成立當且僅當賦範向量空間為有限維。）

定義

在域$𝕂$（$𝕂$是$ℝ$或$ℂ$）上的賦範空間$E$中，每一個元素$x$，都可以定義對偶空間$E^{*}$上的一個線性算子$\hat{x}(f):=f(x)$。弱*拓撲是在$E^{*}$上最弱的拓撲，使得所有這樣的$\hat{x}:E^{*}\to 𝕂$都是連續的。

弱*拓撲可以更具體的定義，在$E^{*}$上給出它的鄰域基：對任何$f\in E^{*}$，集合

$U_f(x_1,\dots ,x_n,ϵ):=\{g\in E^{*};|f(x_j)-g(x_j)|<ϵ,j=1,\dots ,n\}$

其中$x_1,\dots ,x_n\in E,n\in \mathbb{N}$，$ϵ>0$，是$f$的弱*開的鄰域基。

收斂

弱*拓撲的收斂條件很簡單：序列$(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$在弱*拓撲中收斂，如果對任何$x\in E$都有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x)$，即$f_n$逐點收斂到$f$。弱*收斂記作$f_n\stackrel{*}{\rightharpoonup }f$。

弱*收斂性比依範數收斂性弱。如果$\Vert f-f_n\Vert \to 0$，其中$\Vert \cdot \Vert$是$E^{*}$的範數，則$f_n$必然逐點收斂於$f$，因而有$f_n\stackrel{*}{\rightharpoonup }f$；但是，$f_n\stackrel{*}{\rightharpoonup }f$不一定有$\Vert f-f_n\Vert \to 0$，甚至可能$\Vert f_n\Vert \nrightarrow \Vert f\Vert$。

半範數

對偶空間$E^{*}$加上弱*拓撲是一個局部凸空間，因此可以由給予$E^{*}$一個半範數的系統定義弱*拓撲。對$x_1,\dots ,x_n\in E,n\in \mathbb{N}$，

$p_{x_1,\dots x_n}(f):=\max \{|f(x_1)|,\dots ,|f(x_n)|\}$,

構成這樣一個半範數的系統。

參考

K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematiks 56, 1968