邻域

在平面上集合$V$是点$p$的邻域，如果围绕$p$小圆盘包含在$V$中。

矩形不是它的任何一角的邻域。

在集合论中，邻域（Template:Lang-en）指以点$a$为中心的任何开区间，记作：$U(a)$。

在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含这个点的集合，並且該性質是外延的：你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。

定义

在集合论中，有以下几种邻域：

$\delta$邻域：$U(a,\delta )=(a-\delta ,a+\delta )=\{x\mid |x-a|<\delta \}$

去心邻域：$U_0(a,\delta )=\{x\mid 0<|x-a|<\delta \}$

左邻域：$(a-\delta ,a)$

右邻域：$(a,a+\delta )$

在拓扑学中，拓扑空间$X$，$A$，$B\subseteq X$，称$B$是$A$的邻域，当且仅当以下条件之一成立：

• 存在开集$C$，使得$A\subseteq C\subseteq B$。
• $A\subseteq B^O$。（$B^O$是$B$的内部）

开邻域，闭邻域

若$B$是开集，则$B$称为$A$的开邻域；若$B$是闭集，则$B$称为$A$的闭邻域。

邻域系统

设$x\in X$，则$\{x\}$所有邻域的集合$U(x)$，称为$x$（或$\{x\}$）的邻域系。

注意：某些作者要求邻域是开集，所以在阅读文献时注意约定是很重要的。

如果$S$是$X$的子集，$S$的邻域是集合$V$，它包含了包含$S$的开集$U$。可得出集合$V$是$S$的邻域，当且仅当它是在$S$中的所有点的邻域。

鄰域的度量空间定義

平面上的集合$S$和$S$的一致邻域$V$。

在度量空间$M=(X,d)$中，集合$V$是点$p$的邻域，如果存在以$p$为中心和半径为$r$的开球，

$B_r(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}$

它被包含在$V$中。

一致邻域

$V$叫做集合$S$的一致邻域（uniform neighborhood），如果存在正数$r$使得对于$S$的所有元素$p$，

$B_r(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}$

被包含在$V$中。

对于$r>0$集合$S$的$r$-邻域$S_r$是$X$中与$S$的距离小于$r$的所有点的集合（或等价的说$S_r$是以$S$中一个点为中心半径为$r$的所有开球的并集）。

可直接得出$r$-邻域是一致邻域，并且一个集合是一致邻域当且仅当它包含对某个$r$值的$r$-邻域。
參見一致空間。

非一致邻域的例子

给定实数集$ℝ$带有平常的欧几里得度量和如下定义的子集$V$

$V:=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}B(n;\frac{1}{n})$，

则$V$是自然数集合$N$的邻域，但它不是这个集合的均匀邻域，因為$r=\frac{1}{n}$並不是一個固定值。

去心邻域

点 $p$ 的去心邻域（Template:Lang-en 或 Template:Lang）是点 $p$ 的邻域中减去 $\{p\}$ 后得到的差集。例如，区间 $(-1,1)=\{y:-1<y<1\}$ 是 $p=0$ 在实数轴上的邻域，因此集合 $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}$ 是 $p=0$ 的一个去心邻域。需注意的是，给定点的去心邻域实际上不是该点的邻域。在讨论函数极限时，会用到去心邻域的概念。

基于邻域的拓扑

上述定义適用於开集的概念早已定义的情況。有另一种方式来定义拓扑，也就是先定义邻域系统，再定义开集：若集中每个点皆有一個邻域被包含於集中，則為開集。

在$X$上的邻域系统是滤子$N(x)$（在集合$X$上）到每个$X$中的$x$的指派，使得

1. 点$x$是每个$N(x)$中的$U$的元素，
2. 每个$N(x)$中的$U$包含某个$N(x)$中的$V$使得对于每个$V$中的$y$有着$U$在$N(y)$中。

可以证明这两个定义是兼容的，就是说从使用开集定义的邻域系统获得的拓扑就是最初的拓扑，反之从邻域系统出发亦然。

引用

• Template:Cite book

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参见

• 局部基
• 第一可数空间
• 管状邻域