招差术

招差术是中国古代数学中的多項式插值。秦九韶称为“招法”，“招差”一词为元代数学家、历法家王恂首创。元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》多次使用招差术。卷中《如像招数》第五问给出世界上最早的四次内插公式。

秦九韶招法

秦九韶在《数书九章》中多次使用二次插值法。

《数书九章》卷十三 《计造石坝》 Template:Quote

《数书九章》卷三 《缀术推星》也使用自变数不等间二次内插法（招差）。。

郭守敬王恂招差术

郭守敬和王恂在《授时历》中大量使用三次内插法，他称为“招差”。王恂推广隋唐时代二次内插法（盈不足术）为三次内插法（招差术），用以计算太阳盈缩，太阴迟疾的差分，定差，平差，立差，并归纳出平立定三差计算公式。

• 令 a 代表定差
• 令 b 代表平差
• 令 c 代表立差
• 令 k 代表初末限

盈缩差=$ak-b{k}^2-c{k}^3$。

朱世杰招差术

朱世杰《四元玉鉴》多次使用招差术。卷中《如像招数》第五问给出世界上最早的四次内插公式： Template:Quote

先求出上差（一次差），二差（二次差），三差（三次差）和下差（四次差），然后求出答案，是四次插值法（招差术）的运用

日数	支錢累計數	每日支錢	招兵累计数	上差（每日招兵数）	二差	三差	下差
1	6.75	6.75	27	27
2	29.5	22.75	91	64	37
3	83.5	54	216	125	61	24
4	191.5	108	432	216	91	30	6
5	385.25	193.75	775	343	127	36	6

招兵累计数=

$n*a+\frac{1}{2*1}*n*(n-1)*b+\frac{1}{3*2*1}*n*(n-1)*(n-2)*c$

$+\frac{1}{4*3*2*1}n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*d$。

其中

• a=上差
• b=二差
• c=三差
• d=下差

梅文鼎

清代数学家梅文鼎著有《平立定三差详说》，详解《授时历》的平定立三差法。

参考文献

来源

书籍

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