導出拓撲

在拓撲學與相關數學領域裡，導出拓撲（Template:Lang-en，或译诱导拓扑）是指透過拓撲空間與某個集合間的函數，所導出該集合之拓撲。該集合可能是函數的定義域或對應域。

定義

導出拓撲的定義如下：

令 X₀、X₁ 為集合，$f:X_0\to X_1$ 為由 X₀ 映射至 X₁ 的函數。

若 ${\tau }_0$ 為 X₀ 上的拓撲，則由 $f$ 在 X₁ 上導出之拓撲為 $\{U_1\subseteq X_1|f^{-1}(U_1)\in {\tau }_0\}$。

若 ${\tau }_1$ 為 X₁ 上的拓撲，則由 $f$ 在 X₀ 上導出之拓撲為 $\{f^{-1}(U_1)|U_1\in {\tau }_1\}$。

可以看到，上述兩個定義都是使用原像，因為原像會維持集合的交集與聯集，但像則不一定可以。舉例來說，考慮一具有拓撲 $\{\{-2,-1\},\{1,2\}\}$ 之集合 $X_0=\{-2,-1,1,2\}$、一集合 $X_1=\{-1,0,1\}$，以及一函數 $f:X_0\to X_1$，使得 $f(-2)=-1,f(-1)=0,f(1)=0,f(2)=1$。可知，${\tau }_1=\{f(U_0)|U_0\in {\tau }_0\}$ 不會形成一個拓撲，因為 $\{\{-1,0\},\{0,1\}\}\subseteq {\tau }_1$，但 $\{-1,0\}\cap \{0,1\}\notin {\tau }_1$。

下面為導出拓撲的等價定義：

由 f 在 X₁ 上導出之拓撲 ${\tau }_1$ 為使得 f 是連續的最精細拓撲。此一拓撲為 X₁ 上終拓撲之一例。

由 f 在 X₀ 上導出之拓撲 ${\tau }_0$ 為使得 f 是連續的最粗糙拓撲。此一拓撲為 X₀ 上初拓撲之一例。

例子

• 商拓撲是個由商映射導出之拓撲。
• 若 f 是個包含映射，則 f 在 X₀ 上會導出子空間拓撲。

參考資料

• Template:Cite book

另見

• 自然拓撲