初拓扑

在一般拓扑学与数学的相关领域中，给定集合 $X$ 与 $X$ 上的一族函数，其初拓扑（initial topology）是使得这一族函数连续的最粗糙拓扑。

子空間拓撲与積拓撲都是初拓扑的特例。事实上，初拓扑可以看作是这两种结构的推广。

与初拓扑对偶的结构稱為终拓扑。

定义

證明
因為： $(\forall i \in I) {[X = f^{- 1} (Y_{i})] \land (Y_{i} \in τ_{i})}$ 所以： $(X = ⋃ {X}) \land ({X} \subseteq ℬ)$ 另外對於任意 $i \in I$ ，和任意 $V, W \in τ_{i}$ 有： ${f_{i}}^{- 1} (V \cap W) = {f_{i}}^{- 1} (V) \cap {f_{i}}^{- 1} (W)$ 這樣，因為 $V \cap W \in τ_{i}$ ，所以： ${f_{i}}^{- 1} (V) \cap {f_{i}}^{- 1} (W) \in ℬ$ 根據以上所述， $ℬ$ 的確是 $X$ 的拓撲基。另外，對任意 $X$ 上的拓撲 $τ$ 來說，「對所有 $i \in I$ ， $f (i)$ 為 $τ$ - $τ_{i}$ 连续」等價於：「對所有 $i \in I$ ，和所有 $O \in τ_{i}$ ， ${f_{i}}^{- 1} (O) \in τ$ 」也就等價於： $ℬ \subseteq τ$ 這樣根據拓撲基的性質(1)， $τ_{ℱ}$ 就是 $ℬ$ 所生成的拓撲，至此本定理得證。 $◻$

上述拓扑基 $ℬ$ 裡的元素通常被稱為Template:Le（Template:Lang）。

给出任意拓扑空间 $Z$ ，X上的初拓扑依照上面所给的定义。则有以下性质成立：
从 $Z$ 到 $X$ 的映射 $g$ 是连续的，当且仅当 $f_{i} \circ g$ 是连续的。

称 $f_{i} : X \to Y_{i}$ 从闭集分离点，如果 $X$ 中任意闭集 $A$ ，与任意不属于 $A$ 的点 $x$ ， $\exists i \in I$ ，使得
$f_{i} (x) \notin cl (f_{i} (A))$
这里的cl是闭包算子。

关于初拓扑有如下定理：
一族连续映射从闭集分离点，当且仅当the cylinder sets构成集合 $X$ 的一个基。

从这个定理可以得到，如果 $X$ 上有一族连续映射从闭集分离点，那么关于这族映射就存在一个初拓扑。反之是不成立的，因为初拓扑是由 $f^{- 1} (U)$ 为子基生成的拓扑，在这个定理中要求the cylinder sets是集合 $X$ 的一个基。