完整群

微分几何中，一個微分流形上的联络的完整（Template:Lang-en，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。

流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和樂（稱為黎曼和樂）。向量丛聯絡的和樂、嘉当联络的和樂，以及主丛聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關，見安布羅斯-辛格定理。

對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由Template:Harvs引入，以用於Template:Link-en的分類上。然而，很久以後，和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年， 乔治·德拉姆證明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切丛可分解成局域和樂群作用下不變的子空間，則該流形分解為黎曼流形的笛卡儿积。稍後，於1953年，Template:Link-en 給出所有不可約和樂的分類。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論。

定义

向量叢聯絡的和樂

設 M 為光滑流形，E 為其上的 k 維向量丛，∇ 為 E 上的聯絡。給定 M 上一點 x 和以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 該聯絡定義了一個平行移动映射 P_γ : E_x → E_x. 該映射是可逆線性映射，因此是一般线性群 GL(E_x) 的元素。∇ 以 x 為基點的和樂群定義為

${\mathrm{Hol}}_x(\mathrm{\nabla })=\{P_{\gamma }\in \mathrm{G}\mathrm{L}(E_x)\mid \gamma \text{ 为 以}x\text{ 为 基 点 的 环 圈 }\}.$

以 x 為基點的限制和樂群是由Template:Link-en環圈 γ 給出的子群${\mathrm{Hol}}_x^0(\mathrm{\nabla })$.

若 M 連通，則不同基點 x 的和樂群 僅相差 GL(k, R) 的共軛作用。更具體說，若 γ 為 M 中由 x 到 y 的路徑，則

${\mathrm{Hol}}_y(\mathrm{\nabla })=P_{\gamma }{\mathrm{Hol}}_x(\mathrm{\nabla })P_{\gamma }^{-1}.$

選取 E_x 的另一組基（即以另一種方式將 E_x 視為與 R^k 等同）同樣會使和樂群變成 GL(k, R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中（下同），可將基點略去，但倘如此行，則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的重要性質包括：

• ${\mathrm{Hol}}^0(\mathrm{\nabla })$ 是 GL(k, R) 的連通李子群。
• ${\mathrm{Hol}}^0(\mathrm{\nabla })$ 是 $\mathrm{Hol}(\mathrm{\nabla })$ 的Template:Link-en。
• 存在自然的滿群同態 ${\pi }_1(M)\to \mathrm{Hol}(\mathrm{\nabla })/{\mathrm{Hol}}^0(\mathrm{\nabla }),$ 其中 ${\pi }_1(M)$ 是 M 的基本群。該同態將同倫類 $[\gamma ]$ 映到陪集 $P_{\gamma }\cdot {\mathrm{Hol}}^0(\mathrm{\nabla }).$
• 若 M 單連通，則 $\mathrm{Hol}(\mathrm{\nabla })={\mathrm{Hol}}^0(\mathrm{\nabla }).$
• ∇ 為平（即曲率恆零）当且仅当 ${\mathrm{Hol}}^0(\mathrm{\nabla })$ 為平凡群。

在物理学中，威爾森迴圈是 tr(P)（特徵標理論的跡）。

主叢聯絡的和樂

主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 G 為李群，P 為仿緊光滑流形 M 上的主 G 叢。設 ω 為 P 上的聯絡。給定 M 中一點 x, 以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 以及 x 纖維上一點 p, 該聯絡定義了唯一的水平提升 $\tilde{\gamma }:[0,1]\to P$ 使得 $\tilde{\gamma }(0)=p.$ 水平提升的終點 $\tilde{\gamma }(1)$ 未必是 p, 因為其可為 x 纖維上的另一點 p·g. 若兩點 p 和 q 之間有分段光滑的水平提升路徑連接，則稱 p ~ q. 如此，~ 是 P 上的等價關係。

ω 以 p 為基點的和樂群定義為

${\mathrm{Hol}}_p(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.$

若在定義中僅允許Template:Link-en環圈 γ 的水平提升，則得到以 p 為基點的受限和樂群 ${\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )$. 其為和樂群${\mathrm{Hol}}_p(\omega )$ 的子群。

若 M 和 P 皆連通，則不同基點 p 的和樂群僅在 G 互為共軛。更具體說，若 q 是另一個基點，則有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 於是，

${\mathrm{Hol}}_q(\omega )=g^{-1}{\mathrm{Hol}}_p(\omega )g.$

特別地，

${\mathrm{Hol}}_{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}{\mathrm{Hol}}_p(\omega )g,$

再者，若 p ~ q, 則 ${\mathrm{Hol}}_p(\omega )={\mathrm{Hol}}_q(\omega ).$ 因此，有時可省略基點不寫，但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的若干性質包括：

• ${\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )$ 是 G 的連通李子群。
• ${\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )$ 是 ${\mathrm{Hol}}_p(\omega )$ 的Template:Link-en。
• 存在自然的滿群同態${\pi }_1(M)\to {\mathrm{Hol}}_p(\omega )/{\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ).$
• 若 M 單連通，則 ${\mathrm{Hol}}_p(\omega )={\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ).$
• ω 為平（即曲率恆零）当且仅当 ${\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )$ 為平凡群。

和樂叢

同上，設 M 為連通仿緊流形，P 為其上的主 G 叢，ω 為 P 上的聯絡。設 p ∈ P 為主叢上的任意一點。以 H (p) 表示 P 中可與 p 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 H (p) 連同其到 M 的投影也構成 M 上的主叢，且具有結構群 ${\mathrm{Hol}}_p(\omega )$（即 H (p) 是主 ${\mathrm{Hol}}_p(\omega )$ 叢）。 此主叢稱為該聯絡 ω 經過 p 的和樂叢。ω 限制到 H (p) 上也是一個聯絡，因為其平行移動映射保持 H (p) 不變。故 H (p) 是該聯絡的約化主叢。此外，H (p) 任何真子叢都不被平行移動保持，所以其在該類約化主叢之中為最小。

與和樂群類似，和樂叢在環繞它的主叢 P 中等變。具體說，若 q ∈ P 是另一個基點，則有 g ∈ G 使得 q ~ p g（按假設，M 是路連通的）。故 H (q) = H (p) g. 於是，兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的，即：兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 g.

單延拓群

和樂叢 H (p) 是主 ${\mathrm{Hol}}_p(\omega )$ 叢，因此受限和樂群 ${\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )$（作為全個和樂群的正規子群）也作用在 H (p) 上。離散群 ${\mathrm{Hol}}_p(\omega )/{\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )$ 稱為聯絡的Template:Link-en群。其作用在商叢 $H(p)/{\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )$ 上。存在滿同態$\phi :{\pi }_1\to {\mathrm{Hol}}_p(\omega )/{\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ),$ 使得 $\phi ({\pi }_1(M))$ 作用在 $H(p)/{\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )$ 上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示。

局域及無窮小和樂

若 π: P → M 為主叢，ω 為 P 的聯絡，則 ω 的和樂可限制到 M 的開集的纖維上。若 U 為 M 的連通開集，則將 ω 限制到 U 上可得叢 π⁻¹U 的聯絡。該叢的和樂群記為 ${\mathrm{Hol}}_p(\omega ,U),$ 而受限和樂群則記為 ${\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ,U),$ 其中 p 為滿足 π(p) ∈ U 的點。

若 U ⊂ V 為包含 π(p) 的兩個開集，則有包含關係

${\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ,U)\subset {\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ,V).$

p 點的局域和樂群定義為

${\mathrm{Hol}}_p^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ,U_k),$

其中 U_k 為任意一族滿足 $\bigcap _k{U}_k=\pi (p)$ 的遞降（即 $U_k\subset U_{k+1}\mathrm{\forall }k$ ）連通開集。

局域和樂群有以下性質：

1. 其為受限和樂群 ${\mathrm{Hol}}_p^0(\omega )$ 的連通李子群。
2. 每點 p 都有鄰域 V 使得 ${\mathrm{Hol}}_p^{*}(\omega )={\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ,V).$ 局域和樂群僅取決於 p, 而非序列 U_k 的選取。
3. 局域和樂群在結構群 G 的作用下等變，即對任意 g ∈ G, ${\mathrm{Hol}}_{pg}^{*}(\omega )=\mathrm{Ad}(g^{-1}){\mathrm{Hol}}_p^{*}(\omega ).$（注意由性質 1, 局域和樂群是 G 的連通李子群，故伴隨 Ad 有定義。

局域和樂群不一定有全域的良好性質，例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而，有以下的定理：

• 若局域和樂群的維數恆定，則局域和樂群與受限和樂群相等，即${\mathrm{Hol}}_p^{*}(\omega )={\mathrm{Hol}}_p^0(\omega ).$

詞源

英文Template:Lang與「全純」（Template:Lang）相似，"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生Template:Link-fr（1817–1882）和Template:Link-fr（1819–1895）引入，來自希臘文Template:Lang（holos）和Template:Lang（morphē），意思分別是「全」、「形態」。

"Template:Lang"與"Template:Lang"的前半（holos）一樣。至於後半：

非常難在網絡上找出Template:Lang（或Template:Lang）的詞源。我找到（鳴謝普林斯頓的約翰·康威）：

我相信潘索（Template:Lang）最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中，若某種意義下，能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊，就叫一個和樂的 （"Template:Lang"）系統，所以它的意思「整體法則」（"Template:Lang"）很貼切。球在桌上滾動並不和樂，因為沿不同的路徑滾到同一點，可以使球的方向不同。然而，將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思，可能更多時解「數算」（Template:Lang）。它與我們的詞數字"Template:Lang"來自同一個印歐詞根。

——S. Golwala

參見νόμος（nomos）和-nomy。

安布羅斯－辛格定理

安布羅斯－辛格定理（得名自Template:Harvs）描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理，先考慮較熟知的情況，如仿射联络、切叢聯絡（或其特例列維－奇維塔聯絡）。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈，就會感受到曲率。

引入更多細節，若$\sigma :[0,1]\times [0,1]\to M$是$M$中某曲面的坐標表示，則向量$V$可以沿$\sigma$的邊界平行移動，由原點出發，先沿$(x,0)$，再沿$(1,y)$，再$(x,1)$（$x$反方向，即由$1$遞減至$0$），最後$(0,y)$，回到原點。此為和樂環圈的特例，因為向量$V$沿該圈平行移動的結果，相當於$\sigma$邊界的提升，對應的和樂群元素，作用在$V$上。當平行四邊形縮至無窮小時（即沿更小的平行四邊形圈，對應$\sigma$坐標中的區域$[0,x]\times [0,y]$，而$x,y$趨向於$0$），就會明確得到曲率。換言之，取平行移動映射於$x=y=0$處的導數：

$\frac{D}{dx}\frac{D}{dy}V-\frac{D}{dy}\frac{D}{dx}V=R(\frac{\partial \sigma }{\partial x},\frac{\partial \sigma }{\partial y})V$

其中$R$為曲率張量。所以，粗略而言，曲率給出閉環圈（無窮小平行四邊形）上的無窮小和樂。更嚴格地，曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之，$R(X,Y)$是${\mathrm{Hol}}_p(\omega )$的李代數的元素。

一般來說，考慮結構群為$G$的主叢$P\to M$某聯絡的和樂。以$𝔤$表示$G$的李代數，則聯絡的曲率形式是$P$上的$𝔤$值2-形式$\mathrm{\Omega }$。安布羅斯－辛格定理斷言：

${\mathrm{Hol}}_p(\omega )$

的李代數，是由

$𝔤$

中所有形如

${\mathrm{\Omega }}_q(X,Y)$

的元素線性張成，其中

$q$

取遍所有可以用水平曲線

$(q\sim p)$

與

$p$

連接的點，而

$X,Y$

皆是

$q$

處的水平切向量。

亦可用和樂叢的說法，複述如下：

${\mathrm{Hol}}_p(\omega )$

的李代數，是

$𝔤$

中形如

${\mathrm{\Omega }}_q(X,Y)$

的元素張成的線性子空間，其中

$q$

取遍

$H(p)$

的元素，而

$X,Y$

取遍

$q$

處的水平向量。

黎曼和樂

可約和樂與德拉姆分解

設$x\in M$為任意一點，則和樂群$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(M)$作用在切空間$T_{x}M$上。視之為群的表示，則可能不可約，亦可能可約，即可以將$T_{x}M$分解成正交子空間的直和

$T_{x}M=T{\text{'}}_{x}M\oplus T^{\prime }{\text{'}}_{x}M,$

而兩個子空間皆在$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(M)$作用下不變。此時亦稱$M$可約。

設$M$為可約流形。上式說明，在每一點$x$處，切空間可以約化分解成$T{\text{'}}_{x}M$和$T^{\prime }{\text{'}}_{x}M$，所以當$x$變動時，就定義出向量叢$T^{\prime }M$和$T^{″}M$，兩者皆光滑分佈，且是弗比尼斯可積。兩個分佈的Template:Link-en皆為Template:Le子流形，換言之，子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察$M$，是笛卡爾積$M^{\prime }\times M^{″}$。重複上述分解，直到切空間完全約化，則得到（局部）德拉姆同構：

設

$M$

為單連通黎曼流形，又設在和樂群的作用下，

$TM=T^{(0)}M\oplus T^{(1)}M\oplus \cdots \oplus T^{(k)}M$

為切叢的完全約化分解，而和樂群在

$T^{(0)}M$

上的作用平凡（恆等映射），則

$M$

局部等距同構於乘積

$V_0\times V_1\times \cdots \times V_k,$

其中$V_0$是歐氏開集，而每個$V_i$是$T^{(i)}M$的積分流形。更甚者，$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(M)$是$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(M_i)$的直積（$M_i$是$T^{(i)}$過某點的極大積分流形）。

若同時假設$M$Template:Link-en（每點每個方向的測地線皆可無限延伸），則定理不僅局部成立，而是全域成立，且各$M_i$本身也是測地完備流形。

伯格分类

1955年，Template:Le將不可約（並非局部等同積空間）、非對稱（並非局部地Template:Link-en）、單連通的黎曼流形，可能具有的和樂群，完全分類。伯格分類表如下：

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(g)$	$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(M)$	流形類型	備註
正交群$SO(n)$	$n$	可定向流形	—
酉群$U(n)$	$2n$	凯勒流形	凱勒
特殊酉群$SU(n)$	$2n$	卡拉比–丘流形	里奇平、凱勒
辛群$\mathrm{S}\mathrm{p}(n)$	$4n$	Template:Link-en	里奇平、凱勒
$\mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cdot \mathrm{S}\mathrm{p}(1)$	$4n$	Template:Link-en	Template:Link-en
Template:Link-en$G_2$	$7$	Template:Link-en	里奇平
旋量群$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7)$	$8$	Template:Link-en	里奇平

1965年，Template:Link-en及Template:Lang同時研究和樂群為$\mathrm{S}\mathrm{p}(n)\cdot \mathrm{S}\mathrm{p}(1)$的流形，構造出其平行4形式。

Template:Link-en於1966年最早引入和樂群為$G_2$或$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7)$的流形，他構造出全部平行形式，並證明該些流形皆為里奇平。

伯格原先的表中，未排除$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(9)$（作為$SO(16)$的子群）。後來，迪米特里·阿列克謝耶夫斯基（Template:Lang）一人，與布朗（Template:Lang）、格雷（Template:Lang）二人，分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱，即與Template:Le$F_4/\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(9)$局部等距同構，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現，見Template:Link-en和Template:Link-en。

注意$\mathrm{S}\mathrm{p}(n)\subset SU(2n)\subset U(2n)\subset SO(4n)$，故Template:Link-en必為卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必為凱勒，而凯勒流形必可定向。

以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的證明解釋。另有一個簡單幾何證明，由卡洛斯·奧爾莫斯（Template:Lang）於2005年給出。第一步要證，若黎曼流形並非Template:Link-en，而約化和樂在切空間上的作用不可約，則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面：上表所列各項，以及兩個額外情況，分別是$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(9)$（作用於${ℝ}^{16}$），以及$U(1)\cdot \mathrm{S}\mathrm{p}(m)$（作用於${ℝ}^{4m}$）。最後，要驗證前者只能作為局部對稱空間（局部同構於的Template:Link-en）的和樂群，而後者則根本不能作為和樂群出現。

伯格的原分類，尚有涵蓋非正定的偽黎曼度量，其給出非局部對稱和樂的可能列表為：

和樂群	Template:Le
$SO(p,q)$	$(p,q)$
$U(p,q)$	$(2p,2q)$
$SU(p,q)$	$(2p,2q)$
$\mathrm{S}\mathrm{p}(p,q)$	$(4p,4q)$
$\mathrm{S}\mathrm{p}(p,q)\cdot \mathrm{S}\mathrm{p}(1)$	$(4p,4q)$
$SO(n,ℂ)$	$(n,n)$
$SO(n,ℍ)$	$(2n,2n)$
分裂$G_2$	$(4,3)$
$G_2(ℂ)$	$(7,7)$
$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(4,3)$	$(4,4)$
$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7,ℂ)$	$(7,7)$
$(*)\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(5,4)$	$(8,8)$
$(*)\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(9,ℂ)$	$(16,16)$

但是，標$(*)$的兩種和樂群（分裂$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(9)$及複化$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(9)$），如同正定的情況，只能在局部對稱空間出現，故應予刪去。至於複化和樂群$SO(n,ℂ),G_2(ℂ),\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7,ℂ)$三種，可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為$SO(n,ℍ)$子群的流形，R. McLean證明其為局部平。

對稱黎曼空間，因為局部與齊性空間$G/H$同構，其局部和樂群同構於$H$，經已分類完畢。

最後，伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射联络的流形的可能和樂群，見下節。

特殊和樂及旋量

一些流形具特殊的和樂，該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃（平行旋量即協變導數為零的旋量場），尤其有以下各項命題成立：

• $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(\omega )\subseteq U(n)$，當且僅當$M$上存在平行的射影純旋量場。
• 若$M$為Template:Link-en，則$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}(\omega )\subseteq SU(n)$，當且僅當$M$具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上，平行純旋量場足以確定由結構群到$SU(n)$的典範歸約。
• 若$M$是七維旋量流形，則$M$具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是$G_2$的子群。
• 若$M$為八維旋量流形，則$M$具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7)$的子群。

么正與特殊么正和樂經常連帶扭量理论、殆复流形一同研究。

應用

弦論

具特殊和樂的黎曼流形，對弦論緊化很重要。原因是，特殊和樂流形上，存在共變常值（即平行）旋量，於是保一部分超对称。較重要的緊化是在具$SU(2)$或$SU(3)$和樂的卡拉比–丘流形上，以及Template:Link-en上。

機器學習

在机器学习，尤其Template:Le方面，曾有人提出，藉計算黎曼流形的和樂，得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構，其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限，無法完全準確計算出和樂群，但利用來自譜圖論的思想（類似向量Template:Le），有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」（Template:Lang-en，簡寫Template:Smallcaps「探地者」），能給出德拉姆分解的數值近似，並應用於現實數據。

仿射和樂

仿射和樂群（Template:Lang-en），是無撓仿射联络的和樂群；其中一些不能作為（偽）黎曼和樂群出現，稱為非度量和樂群（Template:Lang-en）。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群，所以離完成分類尚有很遠，但仍可以將不可約的仿射和樂分類。

伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中，發現對於Template:Link-en的無撓仿射聯絡而言，和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則（Template:Lang-en）是安布羅斯－辛格定理（即曲率張量生成和樂的李代數，見前節）的後果；而第二準則，來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則，且作用不可約的群，可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。

但伯格的列表，其後證實並未齊全。Template:Link-en（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有時稱為「怪和樂」（Template:Lang）。努力搜索例子之後，最終由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可約仿射和樂群的分類，而反方向的結果則由布萊恩特（2000年）證明，即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。

觀察到表中的群和Template:Link-en、Template:Link-en之間有聯繫之後，Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確，見於Schwachhöfer（2001）。

設$V$為有限維複向量空間，$H\subseteq \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V)$為不可約半單複連通李子群，又設$K\subseteq H$為極大緊子群。

1. 若有不可約埃爾米特對稱空間形如$G/(U(1)\cdot K)$，則$H$和${ℂ}^{*}\cdot H$兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群，其中$V$為$K$的切表示。
2. 若有不可約四元數凱勒對稱空間形如$G/(\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cdot K)$，則$H$為非對稱不可約仿射和樂群，而當$\dim V=4$時，${ℂ}^{*}\cdot H$亦然。此時，$\mathrm{S}\mathrm{p}(1)\cdot K$的複化切表示是${ℂ}^2\otimes V$，而$H$保$V$上某個複辛形式。

上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群，例外僅有：

$\begin{array}{cc}\mathrm{S}\mathrm{p}(2,ℂ)\cdot \mathrm{S}\mathrm{p}(2n,ℂ)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}({ℂ}^2\otimes {ℂ}^{2n}),\\ G_2(ℂ)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left({ℂ}^7\right),\\ \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(7,ℂ)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left({ℂ}^8\right).\end{array}$

利用埃爾米特對稱空間的分類，第一族的複仿射和樂群有：

$\begin{array}{cc}{Z}_{ℂ}\cdot SL(m,𝐂)\cdot SL(n,𝐂)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}({ℂ}^m\otimes {ℂ}^n),\\ Z_{ℂ}\cdot SL(n,ℂ)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left({\wedge }^2{ℂ}^n\right),\\ Z_{ℂ}\cdot SL(n,ℂ)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left(S^2{ℂ}^n\right),\\ Z_{ℂ}\cdot SO(n,ℂ)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left({ℂ}^n\right),\\ Z_{ℂ}\cdot \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(10,ℂ)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left({\mathrm{\Delta }}_{10}^{+}\right)\cong \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left({ℂ}^{16}\right),\\ Z_{ℂ}\cdot E_6(ℂ)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left({ℂ}^{27}\right),\end{array}$

其中$Z_{ℂ}$可取平凡群，亦可取為${ℂ}^{*}$。

同樣，用四元數凱勒對稱空間的分類，第二族複辛和樂群有：

$\begin{array}{cc}\mathrm{S}\mathrm{p}(2,ℂ)\cdot SO(n,ℂ)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}({ℂ}^2\otimes {ℂ}^n),\\ (Z_{ℂ}\cdot )\mathrm{S}\mathrm{p}(2n,ℂ)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left({ℂ}^{2n}\right),\\ Z_{ℂ}\cdot SL(2,ℂ)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left(S^3{ℂ}^2\right),\\ \mathrm{S}\mathrm{p}(6,ℂ)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left(\underset{0}{\overset{3}{\wedge }}{ℂ}^6\right)\cong \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left({ℂ}^{14}\right),\\ SL(6,ℂ)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left({\wedge }^3{ℂ}^6\right),\\ \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(12,ℂ)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left({\mathrm{\Delta }}_{12}^{+}\right)\cong \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left({ℂ}^{32}\right),\\ E_7(ℂ)& \subset \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left({ℂ}^{56}\right).\\ \end{array}$

（第二行中，$Z_{ℂ}$必須取為平凡群，除非$n=2$，此時可取為${ℂ}^{*}$。）

從以上各列表，可以觀察出一個結論，類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面：複和樂表示皆為Template:Link-en。但是，未知此事實的概念性證明。

不可約實仿射和樂的分類，用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論，結合上表，仔細分析便得。

参见

• A-B效应

参考文献

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