基 (拓撲學)

Template:NoteTA在拓扑学的相关领域中，拓撲基(Template:Lang-en) 是某種特殊集合族，它們的任意并集構成了一個拓扑空間的開集。基在拓扑学的作用是簡化證明，許多拓撲的性質可轉換成基的性質，像是拓撲意義下的连续就可以直接對基來做定義。

動機

拓撲基的動機是想定義一群特殊的子集，它們的任意并集都是「开」的；嚴謹來說，令 $ℱ\subseteq 𝒫(X)$ 為集合 $X$ 的一個子集族，希望 $ℱ$ 內任意一群子集之并集所組成的 $𝒰$ ：

$𝒰:=\{U\in 𝒫(X)|(\mathrm{\exists }𝒜)[(𝒜\subseteq ℱ)\wedge (\bigcup 𝒜=U)]\}$

為 $X$ 上的拓扑。

證明

以下逐條檢驗拓扑的定義： (1) 等價於「 $X\in 𝒰$」的條件 若 $X\in 𝒰$ ，則： $(\mathrm{\exists }𝒜)[(𝒜\subseteq ℱ)\wedge (\bigcup 𝒜=X)]$(a) 考慮到 $ℱ\subseteq 𝒫(X)$ ，所以根據有无限并集性質的定理(1)與(2)有 $\bigcup ℱ\subseteq X$ 但根據无限并集性質的定理(1)，(a)又等價於： $(\mathrm{\exists }𝒜)[(𝒜\subseteq ℱ)\wedge (\bigcup 𝒜=X)\wedge (\bigcup 𝒜\subseteq \bigcup ℱ)]$ 所以有： $X\subseteq \bigcup ℱ$ 所以從 $X\in 𝒰$ 有： $\bigcup ℱ=X$ (a1) 反之若有 (a1)，因為 $ℱ\subseteq ℱ$ ，所以有 $X\in 𝒰$ 。故在本定理的前提下，(a1)等價於 $X\in 𝒰$ 。 (2) $\varnothing \in 𝒰$ 首先考慮到 $\varnothing \subseteq ℱ$，然後從无限并集性質的定理(0)有 $\varnothing =\bigcup \varnothing$，故 $\varnothing \in 𝒰$。 (3) 對任意 $𝔄\subseteq 𝒰$ 有 $\bigcup 𝔄\in 𝒰$ 首先，$𝔄\subseteq 𝒰$ 可等價地展開為 $(\mathrm{\forall }A\in 𝔄)(\mathrm{\exists }ℬ)[(ℬ\subseteq ℱ)\wedge (\bigcup ℬ=A)]$(b) 上式可直觀地解釋成「 $A\in 𝔄$ 都是 $ℱ$ 內某些集合的并集」，既然如此，取一個蒐集各種不同 $A$ 的子集的集族 ${𝒫}_{𝔄}$ ： ${𝒫}_{𝔄}:=\{S|(\mathrm{\exists }A)[(A\in 𝔄)\wedge (S\subseteq A)]\}$ 這樣根據有限交集的性質，$x\in \bigcup ({𝒫}_{𝔄}\cap ℱ)$ 等價於 $(\mathrm{\exists }S)\{(x\in S)\wedge (S\in ℱ)\wedge (\mathrm{\exists }A)[(A\in 𝔄)\wedge (S\subseteq A)]\}$ 考慮到一阶逻辑的定理(Ce)，將$(\mathrm{\exists }A)$ 移至最前，再將$(\mathrm{\exists }S)$移入括弧內 ，上式就依據(Equv)而等價於 $(\mathrm{\exists }A)\{(A\in 𝔄)\wedge (\mathrm{\exists }S)[(x\in S)\wedge (S\in ℱ)\wedge (S\subseteq A)]\}$ 也就等價於 $(\mathrm{\exists }A)\{(A\in 𝔄)\wedge (x\in \bigcup [𝒫(A)\cap ℱ])\}$ 根據无限并集性質的定理(4)，從(b)有 $(\mathrm{\forall }A\in 𝔄)(\mathrm{\exists }ℬ)\{(ℬ\subseteq ℱ)\wedge \{A\subseteq \bigcup [ℬ\cap 𝒫(A)]\}\}$ 這樣根據无限并集性質的定理(1)又會有 $(\mathrm{\forall }A\in 𝔄)\{A\subseteq \bigcup [ℱ\cap 𝒫(A)]\}$ 考慮到 $ℱ\cap 𝒫(A)\subseteq 𝒫(A)$ ，從无限并集性質的定理(1)與定理(2)有 $\bigcup ℱ\cap 𝒫(A)\subseteq A$ 所以最後從(b)有 $(\mathrm{\forall }A\in 𝔄)\{A=\bigcup [ℱ\cap 𝒫(A)]\}$ 所以 $x\in \bigcup ({𝒫}_{𝔄}\cap ℱ)$ 最後等價於 $(\mathrm{\exists }A)[(A\in 𝔄)\wedge (x\in A)]$ 換句話說 $x\in \bigcup 𝔄$ 這樣考慮到 ${𝒫}_{𝔄}\cap ℱ\subseteq ℱ$ 就有 $\bigcup 𝔄=\bigcup ({𝒫}_{𝔄}\cap ℱ)\in 𝒰$ 所以在本定理的前提下， 對所有 $𝔄\subseteq 𝒰$ 都有 $\bigcup 𝔄\in 𝒰$ 。 (4)等價於「 $U,V\in 𝒰$ 則 $U\cap V\in 𝒰$」的條件 若 「對所有的 $U,V\in 𝒰$ 有 $U\cap V\in 𝒰$」(P) 因取任意 $B_1,B_2\in ℱ$ 都有： $B_1=\bigcup \{B_1\}\in 𝒰$ $B_2=\bigcup \{B_1\}\in 𝒰$ 故 $B_1\cap B_2\in 𝒰$ ，換句話說從假設(P)可以推出： 「對所有 $B_1,B_2\in ℱ$ ，$B_1\cap B_2\in 𝒰$」(P') 另一方面， $U\cap V\in 𝒰$ 可等價地展開為： $(\mathrm{\exists }ℰ)\{(ℰ\subseteq ℱ)\wedge (U\cap V=\bigcup ℰ)\}$ 因為 $U,V\in 𝒰$ 可等價地展開為： $(\mathrm{\exists }𝒜)[(U=\bigcup 𝒜)\wedge (𝒜\subseteq ℱ)]$ $(\mathrm{\exists }ℬ)[(V=\bigcup ℬ)\wedge (ℬ\subseteq ℱ)]$ 所以在 $U,V\in 𝒰$ 的前提下 $U\cap V\in 𝒰$ 又可更進一步等價地展開為： $(\mathrm{\exists }𝒜)(\mathrm{\exists }ℬ)(\mathrm{\exists }ℰ)\{(𝒜,ℬ,ℰ\subseteq ℱ)\wedge (U=\bigcup 𝒜)\wedge (V=\bigcup ℬ)\wedge [(\bigcup 𝒜)\cap (\bigcup ℬ)=\bigcup ℰ]\}$ 此時考慮到一阶逻辑的定理(Ce)，連續使用兩次會有： $[x\in (\bigcup 𝒜)\cap (\bigcup ℬ)]\iff (\mathrm{\exists }A)(\mathrm{\exists }B)[(A\in 𝒜)\wedge (B\in ℬ)\wedge (x\in A\cap B)]$ 這樣的話，若取一個包含所有 $A\cap B$ 的集族： $𝒞:=\{S\in 𝒫(X)|(\mathrm{\exists }A)(\mathrm{\exists }B)[(A\in 𝒜)\wedge (B\in ℬ)\wedge (S=A\cap B)]\}$ 這樣就有： $\bigcup 𝒞=(\bigcup 𝒜)\cap (\bigcup ℬ)$ 而且考慮到 $𝒜\subseteq ℱ$ 和 $ℬ\subseteq ℱ$ ，所以在(P')的前提下，所有的 $A\cap B$ 都在 $𝒰$ 裡，換句話說，$𝒞\subseteq 𝒰$ ，故從上小結的結果有： $U\cap V\in 𝒰$ 所以，(P')跟(P)等價。 綜合上面的(a1)、(a2)、和(P')，本定理得證。$◻$

一般會根據无限并集性質的定理(4)，將第二個條件等價的寫為：

「對所有 $B_1,B_2\in ℱ$ ， $B_1\cap B_2=\bigcup [ℱ\cap 𝒫(B_1\cap B_2)]$」

也就等價於：

「所有的 $B_1,B_2\in ℱ$ ，對任意 $x\in B_1\cap B_2$ 都存在 $C\in [ℱ\cap 𝒫(B_1\cap B_2)]$ 使得 $x\in C$」

定義

由上面動機一節的定理，可以作如下的定義：

範例

以所有實數線中的開區間為元素所構成的集合是拓撲基，因為：

• 任意實數 $r\in ℝ$ 都包含在某個開區間裡，如 $(r-1,r+1)$ 。故開區間全體「覆蓋」了整條實數線。
• 任何兩個開區間的交集要么也是開區間要么為空。
• 對任意開區間 $(a,b)$ 內的實數 $c\in (a,b)$ ，都有一個比 $(a,b)$ 更小的開區間也包含 $c$ ，如 $(\frac{a+c}{2},\frac{b+c}{2})$ 。

這些性質正好滿足拓撲基的定義。

更一般的來說，以度量空间的開球為元素所構成的集合是拓撲基，因為：

• 度量空間的任意點都可作為開球的球心，故開球全體「覆蓋」了整個度量空間。
• 取任二開球$B_{r_a}(a)$和$B_{r_b}(b)$，若$x\in B_{r_a}(a)\cap B_{r_b}(b)$，且 $r=\min \{r_a-d(x,a),r_b-d(x,b)\}$，則$B_r(x)\subseteq B_{r_a}(a)\cap B_{r_b}(b)$。

重要性質

證明

設 $ℬ$ 所生成的拓撲是 ${\tau }_{ℬ}$ ；另一方面包含 $ℬ$ 的最粗拓撲為 $\tau (ℬ)$ 。 根據最粗拓撲的定義有： $⊢(\mathrm{\forall }S)\{[S\in \tau (ℬ)]\iff (\mathrm{\forall }𝔗)\{[(𝔗\text{ is a topology of }X)\wedge (ℬ\subseteq 𝔗)]\Rightarrow (S\in 𝔗)\}\}$(a) 那以量词公理(A4) 將 $\mathrm{\forall }S$ 去掉會有： $⊢[S\in \tau (ℬ)]\iff (\mathrm{\forall }𝔗)\{[(𝔗\text{ is a topology of }X)\wedge (ℬ\subseteq 𝔗)]\Rightarrow (S\in 𝔗)\}$ 那再使用量词公理(A4)，配合(D1)會有： $⊢[S\in \tau (ℬ)]\Rightarrow \{[({\tau }_B\text{ is a topology of }X)\wedge (ℬ\subseteq {\tau }_B)]\Rightarrow (S\in {\tau }_B)\}$ 因為 ${\tau }_{ℬ}$ 是 $ℬ$ 所生成的拓撲，配合(D2)有：（$𝒫$ 為 「$ℬ$ 是 $X$ 的拓撲基」的正式敘述） $𝒫⊢[S\in \tau (ℬ)]\Rightarrow (S\in {\tau }_B)$ 另一方面，根據拓撲基的定義有： $𝒫,S\in {\tau }_B⊢(\mathrm{\exists }𝒞)[(S=\bigcup 𝒞)\wedge (𝒞\subseteq ℬ)]$ 而根據拓扑的定義(關於聯集的部分)與演繹定理會有： $𝒫,[(𝔗\text{ is a topology of }X)\wedge (ℬ\subseteq 𝔗)],[(S=\bigcup 𝒞)\wedge (𝒞\subseteq ℬ)]⊢(S\in 𝔗)$ 這樣根據(GEN)與演繹定理就有： $𝒫,[(𝔗\text{ is a topology of }X)\wedge (ℬ\subseteq 𝔗)]⊢(\mathrm{\exists }C)[(S=\bigcup 𝒞)\wedge (𝒞\subseteq ℬ)]\Rightarrow (S\in 𝔗)$ 換句話說，從演繹定理與(D1)有： $𝒫,S\in {\tau }_B⊢[(𝔗\text{ is a topology of }X)\wedge (ℬ\subseteq 𝔗)]\Rightarrow (S\in 𝔗)$ 那從普遍化元定理就有： $𝒫,S\in {\tau }_B⊢(\mathrm{\forall }𝔗)\{[(𝔗\text{ is a topology of }X)\wedge (ℬ\subseteq 𝔗)]\Rightarrow (S\in 𝔗)\}$ 這樣從(a)，配合(AND)與(D1)就有： $𝒫,S\in {\tau }_B⊢S\in \tau (ℬ)$ 這樣從(AND)和演繹定理就有： $𝒫⊢(S\in {\tau }_B)\iff [S\in \tau (ℬ)]$ 套用(GEN)將 $\mathrm{\forall }S$ 重新加入就會有： $𝒫⊢{\tau }_B=\tau (ℬ)$ 故本定理得証。$◻$

證明

• 如果 B₁,B₂,...,B_n 是拓撲 T₁,T₂,...,T_n 的基，則集合積 B₁ × B₂ × ... × B_n 是乘積拓撲 T₁ × T₂ × ... × T_n 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。
• 設 B 是 X 的基并設 Y 是 X 的子空間。那么如果我們交 B 的每個元素於 Y，結果的集合的搜集是子空間 Y 的基。

證明
若$O\in {\tau }_Y$，根據基的定義，存在$ℱ\subseteq 𝔅$使得： $O=\bigcup ℱ$ 這樣的話，若取： $f^{-1}(ℱ)=\{A|(\mathrm{\exists }B\in ℱ)(A=f^{-1}(B))\}$ 則有： $f^{-1}(O)=\bigcup f^{-1}(ℱ)$ $f^{-1}(ℱ)\subseteq {\tau }_X$ 這樣根據拓撲空間的定義就有： $f^{-1}(O)=\bigcup f^{-1}(ℱ)\in {\tau }_X$ 故$f$是${\tau }_X$-${\tau }_Y$连续。$◻$

• X 的子集的搜集是 X 上的拓撲當且僅當它生成自身。
• B 是拓撲空間 X 的基，當且僅當 B 的包含 x 的元素的子搜集形成在 x 上的局部基，對于 X 的任何點 x。
• 給定拓撲的一個基，要證明網或序列的收斂，在包含假定極限的所有基中的集合中最終證明它就是充分的。

依據基定義的對象

• 序拓撲通常定義為類似開區間的集合的搜集所生成的拓撲。
• 度量拓撲通常定義為開球的搜集生成的拓撲。
• 第二可數空間是有可數基的拓撲。
• 離散拓撲有由所有單元素集合組成的基。

閉集基

閉集同樣擅長描述空間的拓撲。因為有對於拓撲空間的閉集的對偶的基的概念。給定一個拓撲空間 X， X 的閉集基是閉集的集合族 F 使得任何閉集 A 是 F 的元素的交集。

等價的說，閉集族形成了閉集基，如果對於每個閉集 A 和每個不在 A 中的點 x，存在一個 F 的元素包含 A 但不包含 x。

容易檢查 F 是 X 的閉集基，當且僅當 F 的成員的補集的集合族是 X 的開集基。

設 F 是 X 的閉集基。則

1. ∩F = ∅
2. 對於每個 F₁ 和 F₂ 在 F 中，并集 F₁ ∪ F₂ 是 F 的某個子族的交集(就是說，對于任何不在 F₁ 或 F₂ 的 x，存在一個 F₃ 在 F 包含 F₁ ∪ F₂ 并不包含 x)。

滿足這些條件的集合 X 的任何子集搜集形成 X 上的拓撲的閉集基。這個拓撲的閉集完全就是 F 的成員的交集。

在某些情況下，更習慣使用閉集基而非開集基。例如，一個空間是完全正規空間，當且僅當它的零集形成了閉集基。給定任何拓撲空間 X，零集形成在 X 上某個拓撲的閉集基。這個拓撲將是 X上比最初的要粗的最細的完全正規拓撲。在類似的脈絡下，在 Aⁿ 上的 Zariski拓撲被定義為選取多項式函數的零集作為閉集基。

準基

若拓扑空間$X$是最小的拓扑使得$X$的子集的集$B$都是$X$的開集，則稱$B$為$X$的一個準基（subbasis/subbase）。另一等價的定義為，若$B$及其所有有限交集構成了拓扑空間$X$之基，則$B$為準基。

例子：

• 在實數線上，所有長度為1的開區間便是一個準基。

J.W. 亞歷山大證明了：若每個準基覆盖都有一個有限個元素的子覆蓋，則此空間是緊緻的。

參考文獻

• James Munkres (1975) Topology: a First Course. Prentice-Hall.
• Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.