四維矢量

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $𝐫$ 表示；而其大小則用 $r$ 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如，$x^{\mu }$或$x_{\mu }$。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如，$(x{)}^2$表示$x$平方；而$x^2$是$x^{\mu }$的第二個分量。

在相對論裏，四維向量（Template:Lang）是實值四維向量空間裏的矢量。這四維向量空間稱為閔考斯基時空。四維向量的分量分別為在某個時間點與三維空間點的四個數量。在閔考斯基時空內的任何一點，都代表一個「事件」，可以用四維向量表示。從任意慣性參考系觀察某事件所獲得的四維向量，通過勞侖茲變換，可以變換為從其它慣性參考系觀察該事件所獲得的四維向量。

本文章只思考在狹義相對論範圍內的四維向量，儘管四維向量的概念延伸至廣義相對論。在本文章內寫出的一些結果，必須加以修改，才能在廣義相對論範圍內成立。

數學性質

在閔考斯基時空裡，不同慣性參考系的座標軸

在閔考斯基時空內的任何一點，都可以用四維向量（一組標準基底的四個坐標） $x^{\mu }=(x^0,x^1,x^2,x^3)$ 來表示；其中，上標 $\mu =0,1,2,3$ 標記時空的維數次序。稱這四維向量為「坐標四維向量」，又稱「四維坐標」，定義為

$x^{\mu }\stackrel{def}{=}(ct,x,y,z)$ ；

其中，$c$ 是光速，$t$ 是時間，$(x,y,z)$ 是位置的三維直角坐標。

為了確使每一個坐標的單位都是長度單位，定義 $x^0\stackrel{def}{=}ct$ 。

「四維位移」定義為兩個事件之間的矢量差。在時空圖裏，四維位移可以用從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當矢量的尾部是坐標系的原點時，位移就是位置。四維位移 $\mathrm{\Delta }{x}^{\mu }$ 表示為

$\mathrm{\Delta }{x}^{\mu }\stackrel{def}{=}(\mathrm{\Delta }ct,\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y,\mathrm{\Delta }z)$ 。

帶有上標的四維向量 $U^{\mu }$ 稱為反變矢量，其分量標記為

$U^{\mu }=(U^0,U^1,U^2,U^3)$ 。

假若，標號是下標，則稱四維向量 $U_{\mu }$ 為協變矢量。其分量標記為

$U_{\mu }=(U_0,U_1,U_2,U_3)=(U^0,-U^1,-U^2,-U^3)$ 。

在這裡，閔考斯基度規 ${\eta }_{\mu \nu }$ 被設定為

${\eta }_{\mu \nu }\stackrel{def}{=}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$ 。

採用愛因斯坦求和約定，則四維向量的協變坐標和反變坐標之間的關係為

$U_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{U}^{\nu }$ 。

閔考斯基度規與它的「共軛度規張量」 ${\eta }^{\mu \nu }$ 相等：

${\eta }^{\mu \nu }\stackrel{def}{=}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$ 。

勞侖茲變換

Template:Main 給予兩個慣性參考系 $𝒮$、 $\overline{𝒮}$ ；相對於參考系 $𝒮$，參考系 $\overline{𝒮}$ 以速度 $𝐯=v\widehat{𝐱}$ 移動。對於這兩個參考系，相關的「勞侖茲變換矩陣」 ${\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }$ 是

${\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\gamma \beta & 0& 0\\ -\gamma \beta & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$；

其中，$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}$ 是勞侖茲因子，$\beta =\frac{v}{c}$是「貝塔因子」。

對於這兩個參考系 $𝒮$、 $\overline{𝒮}$ ，假設一個事件的四維坐標分別為 $x^{\mu }$、 ${\overline{x}}^{\mu }$ 。那麼，這兩個四維坐標之間的關係為

${\overline{x}}^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{x}^{\nu }$ 、

$x^{\mu }={\overline{\mathrm{\Lambda }}}^{\mu }{}_{\nu }{\overline{x}}^{\nu }$ ；

其中，${\overline{\mathrm{\Lambda }}}^{\mu }{}_{\nu }$ 是 ${\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }$ 的反矩阵，

${\overline{\mathrm{\Lambda }}}^{\mu }{}_{\nu }=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & \gamma \beta & 0& 0\\ \gamma \beta & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$ 。

將這兩個四維坐標之間的關係式合併為一，則可得到

${\overline{x}}^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{x}^{\nu }={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{\overline{\mathrm{\Lambda }}}^{\nu }{}_{\xi }{\overline{x}}^{\xi }$ 。

因此，可以找到勞侖茲變換矩陣的一個特性：

${\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{\overline{\mathrm{\Lambda }}}^{\nu }{}_{\xi }={\delta }^{\mu }{}_{\xi }$ ；

其中，${\delta }^{\mu }{}_{\xi }$ 是克羅內克函數。

另外一個很有用的特性為

${\overline{\mathrm{\Lambda }}}^{\mu }{}_{\nu }={\eta }_{\alpha \nu }{\eta }^{\beta \mu }{\mathrm{\Lambda }}^{\alpha }{}_{\beta }$ ；

給定一個事件在某慣性參考系的四維坐標，通過勞侖茲變換，就可計算出這事件在另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很有用的物理性質。當研究物理現象時，所涉及的四維向量，最好都能夠具有這有用的性質。這樣，可以使得數學分析更加精緻犀利。以方程式表示，對於兩個參考系 $𝒮$、 $\overline{𝒮}$，具有這種有用性質的四維向量 $U^{\mu }$ 、${\overline{U}}^{\mu }$ 滿足

${\overline{U}}^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{U}^{\nu }$ 、

$U^{\mu }={\overline{\mathrm{\Lambda }}}^{\mu }{}_{\nu }{\overline{U}}^{\nu }$ 。

在計算這四維向量對於時間的導數時，若能選擇固有時為時間變數，則求得的四維向量仍舊具有這有用的性質。因為，固有時乃是個不變量；改變慣性參考系不會改變不變量。

假設一個物體運動於閔考斯基時空。在「實驗室參考系」裡，物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻，選擇與物體同樣運動的慣性參考系，稱為「瞬間共動參考系」（momentarily comoving reference frame）。在這瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，這參考系也是物體的「瞬間靜止參考系」。隨著物體不斷地改變運動速度與方向，新的慣性參考系也會不斷地改換為瞬間共動參考系。Template:Rp隨著這些不斷改換的瞬間同行坐標系所測得的時間即為固有時，標記為 $\tau$ 。這就好像給物體掛戴一隻手錶，隨著物體的運動，手錶也會做同樣的運動，而手錶所紀錄的時間就是固有時。

這物體的運動可以用一條世界線 $x(\tau )$ 來描述。由於時間膨脹，發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔 $\mathrm{\Delta }\tau$ 與從別的慣性參考系 $𝒮$ 所觀測到的微小時間間隔 $\mathrm{\Delta }t$ 的關係為

$\mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }\tau$ 。

所以，固有時 $\tau$ 對於其它時間 $t$ 的導數為

$\frac{\mathrm{d}\tau }{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\gamma }$ 。

閔考斯基內積

在閔考斯基空間裡，兩個四維向量 $U^{\mu }$ 與 $V_{\mu }$ 的內積，稱為閔考斯基內積，以方程式表示為：

$U^{\mu }{V}_{\mu }\stackrel{def}{=}{U}^0{V}^0-U^1{V}^1-U^2{V}^2-U^3{V}^3$ 。

由於這內積並不具正定性，即

$U^{\mu }{U}_{\mu }=(U^0{)}^2-(U^1{)}^2-(U^2{)}^2-(U^3{)}^2$

可能會是負數；而歐幾里得內積一定不是負數。

許多學者喜歡使用相反正負號的 $\eta$：

${\eta }_{\mu \nu }\stackrel{def}{=}\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$ 。

這樣，$U^{\mu }$ 與 $V_{\mu }$ 的內積改變為

$U^{\mu }{V}_{\mu }=-U^0{V}^0+U^1{V}^1+U^2{V}^2+U^3{V}^3$ 。

其它相聯的量值也會因而改變正負號，但這不會改變系統的物理性質。

從參考系 $𝒮$ 改換至另一參考系 $\overline{𝒮}$ ，$U^{\mu }$ 與 $V_{\mu }$ 的內積為

$U^{\mu }{V}_{\mu }=\stackrel{\mu }{\bar{\mathrm{\Lambda }}}{}_{\alpha }\stackrel{\alpha }{\bar{U}}{\eta }_{\mu \beta }{V}^{\beta }=\stackrel{\mu }{\bar{\mathrm{\Lambda }}}{}_{\alpha }\stackrel{\alpha }{\bar{U}}{\eta }_{\mu \beta }\stackrel{\beta }{\bar{\mathrm{\Lambda }}}{}_{\xi }\stackrel{\xi }{\bar{V}}=\stackrel{\mu }{\bar{\mathrm{\Lambda }}}{}_{\alpha }\stackrel{\alpha }{\bar{U}}{\eta }_{\mu \beta }\stackrel{\beta }{\bar{\mathrm{\Lambda }}}{}_{\xi }{\eta }^{\xi \zeta }{\bar{V}}_{\zeta }=\stackrel{\mu }{\bar{\mathrm{\Lambda }}}{}_{\alpha }\stackrel{\alpha }{\bar{U}}\stackrel{\zeta }{\bar{\mathrm{\Lambda }}}{}_{\mu }{\bar{V}}_{\zeta }={\delta }^{\zeta }{}_{\alpha }\stackrel{\alpha }{\bar{U}}{\bar{V}}_{\zeta }=\stackrel{\alpha }{\bar{U}}{\bar{V}}_{\alpha }$ 。

所以，在閔考斯基時空內，兩個四維向量的內積是個不變量：Template:Rp

$U^{\mu }{V}_{\mu }=\stackrel{\mu }{\bar{U}}{\bar{V}}_{\mu }$ 。

四維向量可以分類為類時，類空，或類光（零矢量）：

類時矢量：$U^{\mu }{U}_{\mu }>0$ ，

類空矢量：$U^{\mu }{U}_{\mu }<0$ ，

類光矢量：$U^{\mu }{U}_{\mu }=0$ 。

動力學實例

四維速度

Template:Main 設想一個物體運動於閔考斯基時空，則其世界線的任意事件 $x^{\mu }(\tau )$ 的四維速度 $U^{\mu }$ 定義為Template:Rp

$U^{\mu }\stackrel{def}{=}\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\tau }=\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau }\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}t}=(\gamma c,\gamma 𝐮)$ ；

其中，$𝐮=(\frac{\mathrm{d}{x}^1}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}{x}^2}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}{x}^3}{\mathrm{d}t})$ 是三維速度，或經典速度矢量。

$U^{\mu }$ 的空間部分與經典速度 $𝐮$ 的關係為

$(U^1,U^2,U^3)=\gamma 𝐮$ 。

四維速度與自己的內積等於光速平方，是一個不變量：

$U^{\mu }{U}_{\mu }=c^2$ 。

在物體的瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，四維速度為

${(c,0,0,0)}_{MCRF}$ ，

其方向與瞬間共動參考系的第零個基底向量 ${\widehat{𝐞}}_0={(1,0,0,0)}_{MCRF}$ 同向；

其中，$MCRF$ 表示從瞬間共動參考系觀察得到的數據。

四維加速度

Template:Main 四維加速度 ${\alpha }^{\mu }$ 定義為 Template:Rp

${\alpha }^{\mu }\stackrel{def}{=}\frac{\mathrm{d}{U}^{\mu }}{\mathrm{d}\tau }=(\gamma \dot{\gamma }c,\gamma \dot{\gamma }𝐮+{\gamma }^2\dot{𝐮})$ 。

經過一番運算，可以得到勞侖茲因子對於時間的導數：

$\dot{\gamma }=\frac{\mathrm{d}\gamma }{\mathrm{d}t}={\gamma }^3(𝐮\cdot 𝐚)/c^2$ ；

其中，$𝐚=\frac{\mathrm{d}𝐮}{\mathrm{d}t}$ 是經典加速度。

所以，四維加速度 ${\alpha }^{\mu }$ 可以表示為

${\alpha }^{\mu }=({\gamma }^4(𝐮\cdot 𝐚)/c,{\gamma }^2𝐚+{\gamma }^4(𝐮\cdot 𝐚)𝐮/c^2)$ 。

由於 $U_{\mu }{U}^{\mu }$ 是個常數，四維加速度與四維速度相互正交；也就是說，四維速度與四維加速度的閔考斯基內積等於零：

${\alpha }_{\mu }{U}^{\mu }=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}(U_{\mu }{U}^{\mu })}{\mathrm{d}\tau }=0$ 。

對於每一條世界線，這計算結果都成立。

注意到在瞬間共動參考系裡， $U_{\mu }$ 只有時間分量不等於零，所以， ${\alpha }^{\mu }$ 為的時間分量為零：

${\alpha }^{\mu }={(0,{\gamma }^2𝐚)}_{MCRF}$ 。

四維動量

Template:Main 一個靜止質量為 $m$ 的粒子的四維動量 $P^{\mu }$ 定義為

$P^{\mu }\stackrel{def}{=}m{U}^{\mu }=(\gamma mc,\gamma m𝐮)$ 。

經典動量 $𝐩$ 定義為

$𝐩\stackrel{def}{=}{m}_{rel}𝐮=\gamma m𝐮$ ；

其中，$m_{rel}$ 是相對論性質量。

所以，$P^{\mu }$ 的空間部分等於經典動量 $𝐩$ ：

$(P^1,P^2,P^3)=𝐩$。

四維力

Template:Main 作用於粒子的四維力定義為粒子的四維動量對於固有時的導數：

$F^{\mu }\stackrel{def}{=}\frac{\mathrm{d}{P}^{\mu }}{\mathrm{d}\tau }$。

提出四維動量內的靜止質量因子，即可發覺四維力就是靜止質量乘以四維加速度：

$F^{\mu }=m\frac{\mathrm{d}{U}^{\mu }}{\mathrm{d}\tau }=m{\alpha }^{\mu }$ 。

因此，四維力可以表示為

$F^{\mu }=m({\gamma }^4(𝐮\cdot 𝐚)/c,{\gamma }^2𝐚+{\gamma }^4(𝐮\cdot 𝐚)𝐮/c^2)$ 。

經典力 $𝐟$ 定義為

$𝐟\stackrel{def}{=}\frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}$ 。

所以，$F^{\mu }$的空間部分等於 $\gamma 𝐟$ ：

$(F^1,F^2,F^3)=\gamma 𝐟$ 。

物理內涵

在四維向量的表述裏，存在著許多能量與物質之間的關係。從這些特別關係，可以顯示出這表述的功能與精緻。

質能方程式

假設，在微小時間間隔 $\mathrm{d}t$ ，一個運動於時空的粒子，感受到作用力 $𝐟$ 的施加，而這粒子的微小位移為 $\mathrm{d}𝐱$ 。那麼，作用力 $𝐟$ 對於這粒子所做的微小機械功 $\mathrm{d}W$ 為

$\mathrm{d}W=𝐟\cdot \mathrm{d}𝐱$ 。

因此，這粒子的動能的改變 $\mathrm{d}K$ 為

$\mathrm{d}K=\mathrm{d}W=𝐟\cdot \mathrm{d}𝐱$ 。

粒子的動能 $K$ 對於時間的導數為

$\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=𝐟\cdot \frac{\mathrm{d}𝐱}{\mathrm{d}t}=𝐟\cdot 𝐮$ 。

將前面經典力和經典速度的公式帶入，可以得到

$\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=m{\gamma }^3(𝐮\cdot 𝐚)=m{c}^2\frac{\mathrm{d}\gamma }{\mathrm{d}t}$ 。

這公式的反微分為

$K=\gamma m{c}^2+K_0$ 。

當粒子靜止時，動能等於零。所以，

$K=\gamma m{c}^2-m{c}^2$ 。

這公式的右手邊第二個項目就是靜止能量 $E_0\stackrel{def}{=}m{c}^2$ 。動能 $K$ 加上靜止能量 $E_0$ 等於總能量 $E$ ：

$E=\gamma m{c}^2$ 。

再加簡化，以相對論性質量 $m_{rel}$ 表示：

$E=m_{rel}{c}^2$ 。

這方程式稱為質能方程式。

能量-動量關係式

使用質能方程式 $E=m_{rel}{c}^2=\gamma m{c}^2$ ，四維動量可以表示為

$P^{\mu }=(\frac{E}{c},𝐩)$ 。

四維動量與自己的內積為

$P^{\mu }{P}_{\mu }=\frac{E^2}{c^2}-(p{)}^2$ 。

改以四維速度來計算內積：

$P^{\mu }{P}_{\mu }=m^2{U}^{\mu }{U}_{\mu }=m^2{c}^2$ 。

所以，能量-動量關係式為

$E^2=(pc{)}^2+m^2{c}^4$ 。

電磁學實例

四維電流密度

Template:Main 在電磁學裏，四維電流密度 $J^{\mu }$ 是一個四維向量，定義為

$J^{\mu }\stackrel{def}{=}(\rho c,𝐣)$ ；

其中，$\rho$ 是電荷密度，$𝐣$ 是三維電流密度。

在瞬間共動參考系所觀測到的電荷密度，稱為固有電荷密度 ${\rho }_0=\rho /\gamma$ 。四維電流密度與四維速度的關係為

$J^{\mu }={\rho }_0{U}^{\mu }$ 。

電荷守恆定律能以三維矢量表示為

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=0$ 。

這定律也能以四維電流密度表示為

$\frac{\partial J^{\mu }}{\partial x^{\mu }}=0$ 。

從這方程式，可以推論四維電流密度的四維散度等於零。

電磁四維勢

Template:Main 電磁四維勢是由電勢 $\varphi$ 與矢量勢 $𝐀$ 共同形成的，定義為

$A^{\mu }\stackrel{def}{=}(\varphi /c,𝐀)$ 。

黎曼-索末菲方程式表示電磁四維勢與四維電流密度之間的關係：

$◻A^{\mu }={\mu }_0{J}^{\mu }$ ;

其中，${\mu }_0$ 是磁常數，$◻={\partial }^2={\partial }_{\alpha }{\partial }^{\alpha }=(\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2)$ 是達朗貝爾算符，又稱為四維拉普拉斯算符。

四維頻率和四維波矢量

一個平面電磁波的四維頻率 ${\nu }^{\mu }$ 定義為

${\nu }^{\alpha }\stackrel{def}{=}(f,f𝐧)$ ；

其中，$f$ 是電磁波的頻率，$𝐧$ 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零：

${\nu }^{\alpha }{\nu }_{\alpha }=(f{)}^2(1-n^2)=0$ 。

一個近單色光的波包的波動性質可以用四維波矢量 $K^{\alpha }$ 來描述：

$K^{\alpha }\stackrel{def}{=}(\frac{2\pi f}{c},𝐤)$ 。

其中，$𝐤$ 是三維波矢量。

四維波矢量與四維頻率之間的關係為

$K^{\alpha }=\frac{2\pi {\nu }^{\alpha }}{c}$ 。

參閱

• 洛侖茲協變性

參考文獻

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