最小能量控制

Template:Unreferenced 最小能量控制（minimum energy control）是控制理论中的一種最佳控制，是指讓控制系統以最小能量到達理想狀態的控制$u(t)$，而能量會用控制向量的轉置和控制向量的內積$u^{*}(t)u(t)$來表示。

線性非時變系統的最小能量控制

令線性非時變（LTI）系統為

$\dot{𝐱}(t)=A𝐱(t)+B𝐮(t)$

$𝐲(t)=C𝐱(t)+D𝐮(t)$

其初始條件$x(t_0)=x_0$。可以找到輸入$u(t)$使得系統在時間$t_1$的狀態為$x_1$，而且任何其他也可以讓系統在時間$t_1$的的狀態推進到$x_1$的輸入 $\overline{u}(t)$，其需要的能量都會比最小能量控制的能量要大。

$\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}{\overline{u}}^{*}(t)\overline{u}(t)dt\ge \underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}{u}^{*}(t)u(t)dt.$

要找到此一控制輸入，先計算可控制性格拉姆矩阵

$W_c(t)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{A(t-\tau )}B{B}^{*}{e}^{A^{*}(t-\tau )}d\tau .$

假設$W_c$為非奇異矩陣（若且唯若系統有可控制性），最小能量控制為

$u(t)=-B^{*}{e}^{A^{*}(t_1-t)}{W}_c^{-1}(t_1)[e^{A(t_1-t_0)}{x}_0-x_1].$

代入其解中

$x(t)=e^{A(t-t_0)}{x}_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

可以驗證系統在時間$t_1$時的狀態為$x_1$。

相關條目

• 线性时不变系统理论
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外部連結

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