反函数的微分

公式：
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{(f^{-1}{)}^{\prime }(f(x))}$
例如任意的 $x_0\approx 5.8$:
$f^{\prime }(x_0)=\frac{1}{4}$
$(f^{-1}{)}^{\prime }(f(x_0))=4$

数学上，可導雙射函數$f$的反函數微分可由$f$的導函數$f^{\prime }$給出。若使用拉格朗日记法，反函数$f^{-1}$Template:註的导数公式为：

$\left[f^{-1}\right](a)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(a))},$

该表述等价于

$𝒟\left[f^{-1}\right]=\frac{1}{(𝒟f)\circ \left(f^{-1}\right)},$

其中 $𝒟$ 表示一元微分算子（在函数的空间上），$\circ$ 表示二元复合算子。

記$y=f(x)$，則上式可用莱布尼兹符号寫成：

$\frac{dx}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=1.$

換言之，函數及其反函數的导数均可逆Template:Notetag，并且乘积为1。这是链式规则的直接结果，因为

$\frac{dx}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dx}{dx},$

而 $x$ 相对于 $x$ 的导数为1。

几何上，函数和反函数有关于直线 Template:Nowrap.镜像的图像，这种映射将任何线的斜率变成其倒数。

假设 $f$ 在$x$的邻域有一个反函数并且它在该点的导数不为零，则它的反函数保证在 x 处是可微的，并有上述公式给出的导数。

反函数举例

• $y=x^2$（$x$为正）具有逆 $x=\sqrt{y}$中。

$\frac{dy}{dx}=2x;\frac{dx}{dy}=\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{2x}$

$\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dy}=2x\cdot \frac{1}{2x}=1.$

但是，在 Template:Nowrap有一个问题：平方根函数图像变为垂直的，相对应平方函数的水平切线。

• $y=e^x$ ( $x$为实数)具有逆 $x=\ln y$（$y$为正值）

$\frac{dy}{dx}=e^x;\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y}$

$\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dy}=e^x\cdot \frac{1}{y}=\frac{e^x}{e^x}=1$

其他属性

• 对反函数积分有如下公式

$f^{-1}(x)=\int \frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}dx+\mathrm{C}$Template:Notetag

可见，具有连续导数的函数（光滑函数）在其导数非零的每一点的邻域内都有反函数。如果导数不连续的，则上述积分公式不成立。

高阶导数

上面给出的链式法则是通过对等式$x=f^{-1}(f(x))$关于$x$微分得到的。对于更高阶的导数，可以继续同样的过程。对恒等式对$x$求导两次，得到

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\cdot \frac{dx}{dy}+\frac{d}{dx}\left(\frac{dx}{dy}\right)\cdot \left(\frac{dy}{dx}\right)=0,$

使用链式法则进一步简化为

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\cdot \frac{dx}{dy}+\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=0.$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\cdot \frac{dx}{dy}+\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=0$

用之前得到的恒等式替换一阶导数，得到

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^3$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^3.$

对三阶导数类似：

$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}=-\frac{d^{3}x}{d{y}^3}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^4-3\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot \frac{d^{2}y}{d{x}^2}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2$

或者用二阶导数的公式，

$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}=-\frac{d^{3}x}{d{y}^3}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^4+3{\left(\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\right)}^2\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^5$

这些公式是由Faa di Bruno公式推广。

这些公式也可以用拉格朗日表示法来表示。如果$f$和$g$是互逆的，则

$g^{″}(x)=\frac{-f^{″}(g(x))}{[f^{\prime }(g(x)){]}^3}$

反函数的微分举例

• $y=e^x$ 有逆运算$x=\ln y$。使用反函数的二次导数公式，

$\frac{dy}{dx}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=e^x=y;{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^3=y^3;$

于是，

$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot y^3+y=0;\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=-\frac{1}{y^2}$,

与直接计算相同。

参见

• 微积分
• 反函数
• 链式法则
• 反函数定理
• 隐函数定理
• 反函数的积分