隐函数定理

在数学分析中，隐函数定理（Template:Lang-en）是一個用來回答下面的問題的工具：

以隐函数表示一個多變量函數，此函數的變量在局部上是否存在显式的关系？

隐函数定理说明，对于一个由关系 $f(x,y)=0$ 表示的隐函数，如果它在某一点的偏微分满足某些条件，则在该点有鄰域使得在該鄰域內 Template:Math 可以表示成关于 Template:Math 的函数：

$y=h(x)$

这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。

舉一個簡單例子：假設兩個變量 Template:Math 滿足隱函數 Template:Math，此隱函數代表了平面上的單位圓，任取單位圓中的一點，那是否存在包含該點的鄰域跟定義在鄰域裡的顯函數 Template:Math 去(局部的)描述這單位圓的圖形？

答案是：除了Template:Math 跟 Template:Math 兩點外，其他點局部上都有 Template:Math 的顯函數表達式。理由請看下面的隱函數定理。

例子

讓函数$f(x,y)=x^2+y^2$，則单位圆就可以写成满足方程式$f(x,y)-1=0$的点的集合。在圆上的点A附近，y 可以表示成 x 的函数： $y(x)=\sqrt{1-x^2}$，但點B就不行（因為在點B附近，一個 x 會對應到兩個 y 的值）。

有函數 $f(x,y)=x^2+y^2$，那么方程式 $f(x,y)-1=0$ 的所有解的集合构成平面上的单位圆。圆上的点整體上是无法表示成單變數函數 $y=h(x)$ 的形式的，因为每个$x\in (-1,1),$都有两个$y$的值与之对应，即$\pm \sqrt{1-x^2}$。

然而在某些點附近，局部地用 $x$ 來表示 $y$ 是可能的。比如给定圆上一点 $(x,y)$，如果 $y>0$，也就是说如果只選取圓的上半部分的话，在这一点附近 $y$ 可以写成关于 $x$ 的函数：$y=\sqrt{1-x^2}$。如果 $y<0$，在圓的下半部分 $y$ 也可以写成关于 $x$ 的函数：$y=-\sqrt{1-x^2}$。

但是，在点 $(\pm 1,0)$ 的附近，$y$ 无法写成关于 $x$ 的函数，因为這些點的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点，也就是說对于附近的每一个 $x$，都有两个 $y$ 的值与之对应，這種情況下 $y$ 無法寫成 $x$ 的函數。

定理的叙述：欧几里得空间的情况

设 Template:Math 为一个连续可微函数。这里Template:Math 被看作是两个空间的直积： Template:Math，于是 Template:Math 中的一个元素写成 Template:Math 的形式。 我們的目標是找到一個函數 Template:Math ，讓這函數的圖形(graph of a function), Template:Math, 局部上恰好等於集合{ Template:Math}，當然這目標不見得一定可以達成，接下來我們會看需要哪些條件來保證函數 Template:Math 的局部存在。

固定一点Template:Math 使得 Template:Math，我們希望在點 Template:Math 的附近找到一個 Template:Math 关于 Template:Math 的函数 Template:Math，严格来说，就是说存在 Template:Math 的鄰域 Template:Math 和 Template:Math 的邻域 Template:Math 以及函數：Template:Math，使得 Template:Math 的函數的圖形 Template:Math 剛好等於 Template:Math 中 Template:Math 的集合，也就是說：

$\{(𝐱,h(𝐱))\mid 𝐱\in U\}=\{(𝐱,𝐲)\in U\times V\mid f(𝐱,𝐲)=\mathrm{𝟎}\}$。

要保證这样的函数 Template:Math 存在，函数 Template:Math 的雅可比矩阵要满足某些性質。对于给定的一点 Template:Math，Template:Math 的雅可比矩阵写作：

$(Df)(𝐚,𝐛)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(𝐚,𝐛)& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(𝐚,𝐛)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(𝐚,𝐛)& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(𝐚,𝐛)\end{array}\right|\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial y_1}(𝐚,𝐛)& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m}(𝐚,𝐛)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial y_1}(𝐚,𝐛)& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m}(𝐚,𝐛)\end{array}]=[X|Y]$

其中的矩阵 $X$ 是函數 Template:Math 关于變數 Template:Math 的偏微分，而矩陣 $Y$ 是 Template:Math 关于變數 Template:Math 的偏微分。隐函数定理说明了：如果$Y$是一个可逆矩阵的话，那么满足前面性质的鄰域 Template:Math、Template:Math 和函数 Template:Math 就会存在。正式的敘述就是：

一般情形

设$E_1$、$E_2$和$F$是三个巴拿赫空间，而$U$、$V$分别是$E_1$、$E_2$上的两个开集。设函数：

$f:U\times V\to F$

是一個$k(k\ge 1)$階可微函數（見Fréchet導數），并且对于$E_1\times E_2$中的一点$(x_0,y_0)$，满足：

• $f(x_0,y_0)=0$
• 映射 $y\mapsto (Df(x_0,y_0))(0,y)$ 是一個從$E_2$到$F$的同構

那么有如下结论：

存在$x_0$的邻域 $U_0\subset U$ 、 $y_0$的邻域 $V_0\subset V$ ，以及 $k$ 階Fréchet可微函數$\phi :U_0\to V_0$，使得：

对任意$(x,y)\in U_0\times V_0$，只要$f(x,y)=0$，就有$y=\phi (x)$。

参见

• 反函数定理
• 不动点定理
• 压缩映射定理
• 微分

参考来源

• Template:EnTemplate:Cite web
• Template:Cite book

• Template:Springer.

• Template:Cite book

• Template:Cite book

• Template:Cite journal

• Template:Springer.

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