艾佛森括号

Template:NoteTA 在数学中，以Kenneth E. Iverson命名的“艾佛森括号”（Iverson bracket），是一种用方括号记号，如果方括号内的条件满足则为1，不满足则为0. 更确切地讲，

$[P]=\{\begin{array}{cc}1& \text{If }P\text{ is true;}\\ 0& \text{Otherwise.}\end{array}$

此处 Template:Math 是一个可真可假的命题。该记号由Kenneth E. Iverson在他的编程语言APL中引进，而特别使用方括号则是由高德纳倡导的，目的是避免含括号的表达式中的歧义。

用途

艾弗森括号通过自然的映射$\mathbf{\text{false}}\mapsto 0;\mathbf{\text{true}}\mapsto 1$将布尔值转化为整数值，这就允许计数被表示为和式。例如，计数与小于n且正整数n互质的正整数的个数的欧拉函数可以表示为

$\varphi (n)=\sum _{i=1}^n[\gcd (i,n)=1],\text{for }n\in {\mathbb{N}}^{+}.$

更一般地，此记号使得将和式和积分式中繁多的条件移入并成为被加（积）项的一个因子成为可能。这将减少累加记号周围的空间，更重要的是这允许运算更加代数化。例如，

$\sum _{1\le i\le 10}{i}^2=\sum _i{i}^2[1\le i\le 10].$

另一个例子是化简带特例的方程，例如公式

$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le k\le n}{\gcd (k,n)=1}}k=\frac{1}{2}n\phi (n)$

对一切Template:Math有效，但是右边有 Template:Sfrac 对于 Template:Math。为了得到一个一切正整数n都成立的恒等式，可以利用艾弗森括号补充等式：

$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le k\le n}{\gcd (k,n)=1}}k=\frac{1}{2}n(\phi (n)+[n=1])$

样例

克罗内克函数 : ${\delta }_{ij}=[i=j].$

符号函数和单位阶跃函数：

$\mathrm{sgn}(x)=[x>0]-[x<0]$

$H(x)=[x>0].$

最值与绝对值：

$\max (x,y)=x[x>y]+y[x\le y],$

$\min (x,y)=x[x\le y]+y[x>y],$

$|x|=x[x\ge 0]-x[x<0].$

上下取整函数：

$\lfloor x\rfloor =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}n[n\le x<n+1]$

$\lceil x\rceil =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}n[n-1<x\le n].$

Template:Tsl可被表示为

$\{x\}=x\cdot [x\ge 0].$

实数的三分律等价于下面的恒等式：

$[a<b]+[a=b]+[a>b]=1.$

另见

• Template:Tsl

参考来源

• Donald Knuth, "Two Notes on Notation", American Mathematical Monthly, Volume 99, Number 5, May 1992, pp. 403–422. (-{R|http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/tnn.tex.gz}- Template:Wayback, Template:Arxiv)
• Kenneth E. Iverson, A Programming Language, New York: Wiley, p. 11, 1962.