以豪斯多夫维度排序的分形列表

据本华·曼德博所说：“分形的定义是豪斯多夫-贝西科维奇维度严格大于拓扑维度的集合。” 本文的分形列表以豪斯多夫维度升序排列，展示所谓分形维度的意义。

定分形

豪斯多夫维度 （精确值）	豪斯多夫维度 （近似值）	名称	图片	注释
计算得到	0.538	费根鲍姆吸引子		费根鲍姆吸引子（见箭头之间）是临界参数值${\lambda }_{\mathrm{\infty }}=3.570$的逻辑斯谛映射连续迭代产生的点的集合，其周期减半是无限的。这个维度对任何可微函数和单峰函数都一样。
${\log }_3(2)$	0.6309	康托尔集		每次迭代都会去掉中间的三分之一。无处稠密集，不可数集。
$\frac{-\log (2)}{\log \left(\frac{1-\gamma }{2}\right)}$	0<D<1	1维广义对称康托尔集		在第n次迭代时，从长度为$l_{n-1}=(1-\gamma {)}^{n-1}/2^{n-1}$的每个剩余区间中移除长度为$\gamma l_{n-1}$的中心区间。$\gamma =1/3$将产生康托尔集。将$\gamma$在0,1之间变化可以得到任何分形维度$0<D<1$。
${\log }_2(\phi )={\log }_2(1+\sqrt{5})-1$	0.6942	(1/4, 1/2)不对称康托尔集		每次迭代去除第二个四分之一份得到。 $\phi =(1+\sqrt{5})/2$（黄金比例）。
${\log }_{10}(5)=1-{\log }_{10}(2)$	0.69897	10进制基数为偶数的实数		与康托尔集类似。
$\log (1+\sqrt{2})$	0.88137	斐波那契哈密顿谱		对斐波那契哈密顿频谱的研究，可得其在大耦合机制下的分形维度的上下界。它们表明谱收敛于常数。Template:Page needed
$1$	1	史密斯-沃尔泰拉-康托尔集		在第n次迭代时，每个剩余区间中删除长$2^{-2n}$的中心区间。无处稠密，勒贝格测度为Template:Sfrac。
$2+{\log }_2\left(\frac{1}{2}\right)=1$	1	牛奶冻曲线		在单位区间上的定义是$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-n}s(2^{n}x)$，其中$s(x)$是三角波函数。不是曼德尔布罗分形，因为其拓扑维度也是1.牛奶冻曲线的特例：$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{w}^{n}s(2^{n}x)(w=1/2)$。$w\in [1/2,1]$时，豪斯多夫维度等于$2+{\log }_2(w)$（曼德尔布罗引Hunter）。
计算得到	1.0812	z² + 1/4的朱利亚集合		f(z) = z2 + 1/4的朱利亚集。
$2|\alpha {|}^{3s}+|\alpha {|}^{4s}=1$中s的解	1.0933	罗兹分形的边界		G.Rauzy提出了与Tribonacci态射有关的动力学分形表示法：$1\mapsto 12$、$2\mapsto 13$、$3\mapsto 1$。Template:Page needed $\alpha$是$z^3-z^2-z-1=0$的共轭根之一。
$2{\log }_7(3)$	1.12915	高斯帕曲线		高斯帕岛是高斯帕曲线的极限。
分格测量	1.2	树突朱利亚集		f(z) = z2 + i的朱利亚集。
$3\frac{\log (\phi )}{\log \left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)}$	1.2083	斐波那契字分形60°		从斐波那契字构建。另见标准斐波那契字分形 $\phi =(1+\sqrt{5})/2$（黄金比例）。
$\begin{array}{cc}& 2{\log }_2\left(\frac{\sqrt[3]{27-3\sqrt{78}}+\sqrt[3]{27+3\sqrt{78}}}{3}\right),\\ & \text{or root of }{2}^x-1=2^{(2-x)/2}\end{array}$	1.2108	tame twindragon的边界		平面上6个2-rep-tile之一（可分为2片更小的自相似子图）
	1.26	厄农映射		规范厄农映射（参数a = 1.4；b = 0.3）的豪斯多夫维度为1.261 ± 0.003。不同参数会产出不同维度。
${\log }_3(4)$	1.2619	Triflake		Three anti-snowflakes arranged in a way that a koch-snowflake forms in between the anti-snowflakes.
${\log }_3(4)$	1.2619	科赫曲线		3片反雪花的排列方式是在反雪花之间形成科赫曲线。
${\log }_3(4)$	1.2619	Terdragon曲线的边界		L系统：与龙兴曲线相同，角度= 30°。Fudgeflake基于三角形中的3条初始线段。
${\log }_3(4)$	1.2619	2D康托尔集
${\log }_3(4)$	1.2619	2DL系统分支		L系统，分支图案有4个1/3大的新片段。以统计而非精确自相似生成图案，可得到相同的分形维度。
计算得到	1.2683	z2 − 1的朱利亚集		f(z) = z2 - 1的朱利亚集。
	1.3057	阿波罗分形垫		从3个相切的圆开始，反复将新的圆填入互补的间隙。也是由4个互切圆的反射产生的极限集。见
	1.328	5反演圆分形		相对于5个互切圆（红色）的迭代反演产生的极限集。也是阿波罗分形垫。见
${\log }_5(9)$	1.36521	平方科赫岛，生成自一型曲线		也称为闵可夫斯基香肠
计算得到	1.3934	杜阿迪兔		f(z) = -0.123 + 0.745i的朱利亚集。
${\log }_3(5)$	1.4649	维则克分形		每个方格由5个交叉方格反复交换而成。
${\log }_3(5)$	1.4649	平方科赫曲线（1型）		可以看出维则克分形的结构（如上）。
${\log }_{\sqrt{5}}\left(\frac{10}{3}\right)$	1.4961	四角十字架	Template:Anchor	四角十字架是通过将3段生成线段缩放为51/2，再添加3个完整单元（每个原线段一个），再加上三分之一的缩放单元（蓝），以增加原线段（紫）基的长度。 每个方格由5个交叉方格反复交换而成。
$2-{\log }_2(\sqrt{2})=\frac{3}{2}$	1.5000	魏尔施特拉斯函数：$f(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (2^{k}x)}{{\sqrt{2}}^k}$		魏尔施特拉斯函数$f:[0,1]\to ℝ$图像的豪斯多夫维度由$f(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}^{-k}\sin (b^{k}x)(\frac{1}{b}<a<1;b>1;2+{\log }_b(a))$定义。
${\log }_4(8)=\frac{3}{2}$	1.5000	平方科赫曲线（2型）		也称为“闵可夫斯基香肠”。
${\log }_2\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)$	1.5236	龙形曲线的边界		cf. Chang & Zhang.
${\log }_2\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)$	1.5236	双龙曲线的边界		可由两条龙兴曲线构造。平面上6个2-rep-tile之一（可由两个大小相等的自相似部分组成）。
${\log }_2(3)$	1.5850	3支树		每个树枝都有3个分支（此处为 90°和 60°）。整棵树的分形维度就是末端树枝的分形维度。注意：2支树的分形维度只有1。
${\log }_2(3)$	1.5850	谢尔宾斯基三角形		是帕斯卡三角模2的极限形。
${\log }_2(3)$	1.5850	谢尔宾斯基曲线		极限与上方的三角相同，但由一维曲线构建。
${\log }_2(3)$	1.5850	T方形分形的边界		分形本身的维度（不是边界）是${\log }_2(4)=2$
${\log }_{\sqrt[\phi ]{\phi }}(\phi )=\phi$	1.61803	黄金龙形曲线		由相似比为$r$、$r^2(r=1/{\phi }^{1/\phi })$构造。维度等于$\phi$，因为$(r^2{)}^{\phi }+r^{\phi }=1$。 $\phi =(1+\sqrt{5})/2$（黄金比例）。
$1+{\log }_3(2)$	1.6309	帕斯卡三角模3		对于k模三角形，若k为质数，则分形维度为$1+{\log }_k\left(\frac{k+1}{2}\right)$（参史蒂芬·沃尔夫勒姆）。
$1+{\log }_3(2)$	1.6309	谢尔宾斯基六边形		以谢尔宾斯基地毯的方式，在六边形网格上绘制的6个相似比为1/3的模拟图。科赫曲线见于所有尺度。
$3\frac{\log (\phi )}{\log (1+\sqrt{2})}$	1.6379	斐波那契词分形		基于斐波那契词Sloane A005614的分形。图片为23步后的分形曲线（F23 = 28657组分）。 $\phi =(1+\sqrt{5})/2$（黄金比例）。
$(1/3{)}^s+(1/2{)}^s+(2/3{)}^s=1$的解	1.6402	有1/3、1/2、2/3 三种相似比的迭代函数系统		推广：只要开集条件成立，由比率$c_n$的n个相似图形组成的迭代函数系统的吸引子具有豪斯多夫维度$s$，满足的方程与欧几里得缩放因子的迭代函数重合：$\sum _{k=1}^n{c}_k^s=1$。
${\log }_8(32)=\frac{5}{3}$	1.6667	32段四边形分形（1/8比例）		32段1/8比例四边形分形生成 每次迭代将32段生成线段（见图）缩放1/8，并用整个生成线段的缩放拷贝替换前一个结构的每一段。所示结构由4个生成单元组成，并迭代3次。理论结构的分形维度为log 32/log 8 = 1.6667。
$1+{\log }_5(3)$	1.6826	帕斯卡三角模5		对于k模三角形，若k为质数，则分形维度为$1+{\log }_k\left(\frac{k+1}{2}\right)$（参史蒂芬·沃尔夫勒姆）。
网格测量法	1.7	池田函数吸引子		池田函数$z_{n+1}=a+b{z}_n\exp \left[i[k-p/(1+\lfloor z_n{\rfloor }^2)]\right]$参数取a=1、b=0.9、k=0.4、p=6时的图案。其来自光学环形激光器中平面波相互作用场的模型。不同的参数会产生不同的值。
$1+{\log }_{10}(5)$	1.6990	50段四边形分形（1/10比例）		每次迭代将50段生成线段（见图）缩放1/10，并用整个生成线段的缩放拷贝替换前一个结构的每一段。所示结构由4个生成单元组成，并迭代3次。理论结构的分形维度为log 50/log 10 = 1.6990。 50段分形的生成。
$4{\log }_5(2)$	1.7227	针轮分形		由康威的针轮平铺构建而来。
${\log }_3(7)$	1.7712	斯芬克斯分形		由斯芬克斯六联钻石构建而来，去除了9个子部分中的2个。
${\log }_3(7)$	1.7712	六联雪花		由7个六边形组分迭代交换每个六边形而成，其边界为科赫片，包含无穷多科赫雪花（黑或白）。
${\log }_3(7)$	1.7712	Fractal H-I de Rivera		从单位正方形开始，将其三等分，形成九个自相似正方形。在未消除的7个小正方形中，再去掉上下中间的两个，这样无限重复。
$\frac{\log (4)}{\log (2+2\cos (85^{\circ }))}$	1.7848	科赫曲线85°		科赫曲线的推广，角度a在0到90°之间。分形维度为$\frac{\log (4)}{\log (2+2\cos (a))}\in [1,2]$。
${\log }_2(3^{0.63}+2^{0.63})$	1.8272	自仿射分形集		从正方形上的$p\times q(p\le q)$矩阵迭代而来，豪斯多夫维度等于${\log }_p\left(\sum _{k=1}^p{n}_k^a\right)(a={\log }_q(p))$，且$n_k$是第$k$th列的元素个数。计盒维数给出的公式不一样，因此值也不同。不同于自相似集，自仿射分形集的豪斯多夫维度取决于迭代元素的位置，到目前还没有一般公式。
$\frac{\log (6)}{\log (1+\phi )}$	1.8617	五联雪花		通过交替迭代6个五边形中的每个五边形构建。 $\phi =(1+\sqrt{5})/2$（黄金比例）。
$6(1/3{)}^s+5{(1/3\sqrt{3})}^s=1$的解	1.8687	猴子树		见于本华·曼德博的《自然分形几何》（1983），基于相似比为$1/3$的6个图和相似比为$1/3\sqrt{3}$的5个图。
${\log }_3(8)$	1.8928	谢尔宾斯基地毯		门格海绵的每个面都是谢尔宾斯基地毯，与三维平方科赫曲面（1型）的底面一样。
${\log }_3(8)$	1.8928	3D 康托尔集
${\log }_3(4)+{\log }_3(2)=\frac{\log (4)}{\log (3)}+\frac{\log (2)}{\log (3)}=\frac{\log (8)}{\log (3)}$	1.8928	科赫曲线与康托尔集的笛卡儿积		推广：令F×G为分形集F、G的笛卡儿积，则${\dim }_H(F\times G)={\dim }_H(F)+{\dim }_H(G)$。另见2D康托尔集和康托尔体。
$2{\log }_2(x)$，其中$x^9-3x^8+3x^7-3x^6+2x^5+4x^4-8x^3+$$8x^2-16x+8=0$	1.9340	莱维C形曲线的边界		Duvall & Keesling (1999)估计。曲线本身的分形维度为2。
	2	彭罗斯密铺		参见Ramachandrarao, Sinha & Sanyal。
$2$	2	曼德博集合的边界		边界与集合本身有相同的豪斯多夫维度。
$2$	2	朱利亚集合		对于确定的c值（包括属于曼德博集边界的c），朱利亚集的维度为2.
$2$	2	谢尔宾斯基曲线		所有能填满平面的空间填充曲线的豪斯多夫维度都是2。
$2$	2	希尔伯特曲线
$2$	2	皮亚诺曲线		还有以类似方法构建的曲线族，如Wunderlich曲线。
$2$	2	摩尔曲线		可扩展到3维。
	2	勒贝格曲线或Z阶曲线		与前几种不同的是，这种空间填充曲线几乎处处可导。另一种类型可定义在二维中。与希尔伯特曲线一样，也可扩展到三维空间。
${\log }_{\sqrt{2}}(2)=2$	2	龙形曲线		其边界的分形维度为1.5236270862。
	2	双龙曲线		L系统：F → F + F – F, angle = 120°.
${\log }_2(4)=2$	2	高斯帕曲线		曲边界为高斯帕岛。
$7(1/3{)}^s+6(1/3\sqrt{3}{)}^s=1$的解	2	填充科赫曲线的曲线		曼德博提出于1982年，填充了科赫曲线。基于7个相似比为1/3的部分和6个相似比为$1/3\sqrt{3}$的部分。
${\log }_2(4)=2$	2	谢尔宾斯基四面体		每个四面体都被替代为4个更小的四面体。
${\log }_2(4)=2$	2	H树		与之有相似模式的有曼德博树。
$\frac{\log (2)}{\log (2/\sqrt{2})}=2$	2	毕达哥拉斯树		每个正方形都以$1/\sqrt{2}$的比例扩张出两个小正方形。
${\log }_2(4)=2$	2	2D希腊十字分形		每段由4段组成的十字形取代。
测量得到	2.01 ±0.01	若斯叻吸引子		若斯叻吸引子的分数维度略大于2，在a=0.1、b=0.1、c=14时大约位于2.01到2.02之间。
测量得到	2.06 ±0.01	洛伦茨吸引子		对于参数$\rho =40,\sigma ,\beta =4$。见McGuinness (1983)
$4+c^D+d^D=(c+d{)}^D$	2<D<2.3	金字塔表面		每个三角形由6个小三角形代替，其中4个组成菱形金字塔，其余两个保持扁平，相对于金字塔三角形的长度分别为$c,d$。维度是参数，当数值大于2.3时会自交。
${\log }_2(5)$	2.3219	分形金字塔		每个四角锥被5个一半大的四角锥代替。（异于谢尔宾斯基四边形，后者将每个四边形以4个一半大的四边形代替）
$\frac{\log (20)}{\log (2+\phi )}$	2.3296	十二面体分形		每个十二面体被20个小十二面体代替。 $\phi =(1+\sqrt{5})/2$（黄金比例）
${\log }_3(13)$	2.3347	3D平方科赫曲面（1型）		平方科赫曲线（1型）在三维中的扩展。图中显示了低依次（蓝）、第二次（绿）、第三次（黄）和第四次（透明管）迭代。
	2.4739	阿波罗球形填充		阿波罗球体留下的间隙。三维的阿波罗分形垫。维度计算由M. Borkovec、W. De Paris、R. Peikert完成。
${\log }_4(32)=\frac{5}{2}$	2.50	3D平方科赫曲面（2型）		平方科赫曲线（2型）在三维空间的扩展。图示为第二次迭代。
$\frac{\log (\frac{\sqrt{7}}{6}-\frac{1}{3})}{\log (\sqrt{2}-1)}$	2.529	耶路撒冷体		迭代次数n，由8个迭代n-1次的位于角上的立方体和12个迭代n-2次的立方体（联接四角）组成。收缩率为$\sqrt{2}-1$。
$\frac{\log (12)}{\log (1+\phi )}$	2.5819	二十面体分形		每个二十面体被12个二十面体代替。 $\phi =(1+\sqrt{5})/2$（黄金比例）。
$1+{\log }_2(3)$	2.5849	3D希腊十字分形		每个部分被由6个部分形成的十字代替。
$1+{\log }_2(3)$	2.5849	八面体分形		每个八面体都被6个八面体代替。
$1+{\log }_2(3)$	2.5849	科赫曲面		每个等边三角形面被切割成4个相等的三角形。 以中心三角形为底，组成四面体。用四面体“帐篷”代替三角形底面。
$\frac{\log (3)}{\log (3/2)}$	2.7095	3D科赫曲面		从六面体开始，其面是边长为2:2:3的等腰三角形。将每个多面体替换为本身的3个副本，缩小 2/3。
${\log }_3(20)$	2.7268	门格海绵		其表面的分形维度为${\log }_3(20)$，与体积相同。
${\log }_2(8)=3$	3	3D希尔伯特曲线		扩展到3维的希尔伯特曲线。
${\log }_2(8)=3$	3	3D勒贝格曲线		扩展到3维的勒贝格曲线。
${\log }_2(8)=3$	3	3D摩尔曲线		扩展到3维的摩尔曲线。
${\log }_2(8)=3$	3	3DH树		扩展到3维的H树。
$3$（推测）	3（待确认）	曼德尔球		曼德博集在3维的扩展。Template:Unreliable source?

随机及自然分形

豪斯多夫维度 （精确值）	豪斯多夫维度 （近似值）	名称	图片	注释
1/2	0.5	维纳过程的零点		维纳过程（布朗运动）的零点是勒贝格测度为0的无处稠密集，带分形结构。
$E(C_1^s+C_2^s)=1(E(C_1)=0.5,E(C_2)=0.3)$的解	0.7499	随机康托尔集（50% - 30%）		推广：每次迭代，左侧间隙的长度为随机变量$C_1$，与原间隙长度之比随机。右侧间隙同理，随机变量$C_2$。其豪斯多夫维度$s$满足：$E(C_1^s+C_2^s)=1$($E(X)$是$X$的期望）。
$s+1=12\cdot 2^{-(s+1)}-6\cdot 3^{-(s+1)}$的解	1.144...	间隔随机的科赫曲线		中间间隙的长度是随机变量，服从间隙的(0,1/3)上的均匀分布。
测量得到	1.22±0.02	爱尔兰岛海岸线		爱尔兰岛全部海岸线的分形维度由阿尔斯特大学与都柏林三一学院理论物理系学生McCartney、Abernethy、Gault在S. Hutzler指导下测得。 注意爱尔兰岛西部海岸线较曲折（分形维度约1.26），东部较平滑（分形维度约1.10）。
测量得到	1.25	大不列颠岛海岸线		大不列颠岛西海岸海岸线，的分形维度，由路易斯·弗莱·理查德森测得，本华·曼德博引用。
$\frac{\log (4)}{\log (3)}$	1.2619	随机转向的科赫曲线		在这里，我们引入了一个不影响维度的随机因素，即在每次迭代时选择将等边三角形置于曲线的上方或下方。
$\frac{4}{3}$	1.333	布朗运动的边界		（参曼德博、Lawler、Schramm、维纳）。
$\frac{4}{3}$	1.333	2D聚合物		与二维不自交布朗运动相似。
$\frac{4}{3}$	1.333	2D渗流前沿、2D腐蚀前沿		渗流前沿（包括外缘）的分形维度，于逾渗阈值（59.3%）。也是腐蚀前沿的分形维度。
	1.40	2D凝聚体		受到扩散限制时，凝聚体会逐渐聚合为维度1.4的特殊凝聚体。
$2-\frac{1}{2}$	1.5	规则分维布朗运动函数（维纳过程）图像		函数$f$，对任意两正实数$x,x+h$，像之差$f(x+h)-f(x)$服从中心方差分布，方差$=h$。推广：$\alpha$分维布朗运动的方差为$=h^{2\alpha }$，豪斯多夫维度$=2-\alpha$。
测量得到	1.52	挪威海岸线		见J. Feder。
测量得到	1.55	自避行走		方格中的随机行走，不重复到达同一格点，有“返回”过程避免掉进死胡同。
$\frac{5}{3}$	1.66	3D聚合物		与体格中的布朗运动相似，但没有自避。
	1.70	2D扩散限制凝聚体		二维中形成的扩散限制凝聚体，分形维度约为1.70。
$\frac{\log (9\cdot 0.75)}{\log (3)}$	1.7381	概率为75%的分形渗流		分形渗流模型可由以下过程构建：将每个方格划为$3\times 3$的网格，在其中随机放置一组正方形，正方形保留的概率为p。豪斯多夫维度趋近于$\frac{\log (9p)}{\log (3)}$。
7/4	1.75	二维渗流簇壳		渗流簇的边界。也可通过生成簇壳游走或Schramm-Loewner演化形成。
$\frac{91}{48}$	1.8958	二维渗流簇		方格中，在场地渗流阈值（59.3%）下，渗漏壳的分形维度为91/48。在阈值之上，壳层将无限延伸，91/48则变为“空地”的分形维度。
$\frac{\log (2)}{\log (\sqrt{2})}=2$	2	布朗运动		或随机游走。多维情况的豪斯多夫维度=2（K.Falconer“分形集几何”）。
测量得到	约2	星系团分布		数据来自斯隆数字巡天（2005）。
	2.5	废纸团		将不同尺寸、同种、同长宽比的纸张（如ISO 216的A系列）揉成一团，则纸张面积大致会与纸团直径的2到3之间某数的次方成正比。无论什么尺寸都会形成褶皱（见普遍性 (物理学)）。
	2.50	3D扩散限制凝聚体		三维中形成的扩散限制凝聚体，分形维度约为2.50。
	2.50	利希滕贝格图		其出现与生长似乎与扩散限制凝聚过程有关。
$3-\frac{1}{2}$	2.5	规则布朗面		函数$f:{ℝ}^2\to ℝ$给出点$(x,y)$的高度，使得任给两个正增量$h,k$，则$f(x+h,y+k)-f(x,y)$服从中心正态分布，方差= $\sqrt{h^2+k^2}$。推广：$\alpha$分维布朗面方差为$=(h^2+k^2{)}^{\alpha }$，豪斯多夫维度$=3-\alpha$。
测量得到	2.52	3D渗流团		体格中，在背景逾渗阈值（31.1%）下，3D渗流团的分形维度约为2.52。 Beyond that threshold, the cluster is infinite.
测量、计算得到	~2.7	西蓝花表面		金山勋利用直接扫描法与交叉截面分析，得到西蓝花表面分形维度~2.7。
测量得到	~2.8	人脑表面		高分辨三维MRI成像得到
测量、计算得到	~2.8	花椰菜		金山勋利用直接扫描法与交叉截面分析，得到花椰菜表面分形维度~2.8。
	2.97	肺表面		肺泡形成的分形面接近3。
计算得到	$\in (0,2)$	乘阶		多分形分布的例子。 通过挑选特定参数，可以使分布变为单分形。

另见

• 分形维数
• 豪斯多夫维数
• 标度不变

阅读更多

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外部链接

• The fractals on Mathworld Template:Wayback
• Other fractals on Paul Bourke's website
• Soler's Gallery Template:Wayback
• Fractals on mathcurve.com Template:Wayback
• 1000fractales.free.fr - Project gathering fractals created with various software Template:Wayback
• Fractals unleashed
• IFStile - software that computes the dimension of the boundary of self-affine tiles Template:Wayback