曼德尔球

一个光线跟踪的3维曼德尔球图像
迭代于$z\mapsto z^8+c$

曼德尔球（Template:Lang）是一个三维的曼德博集合的模拟，由丹尼尔·怀特和保罗·尼兰德采用球坐标构造。

因为没有复数的二维空间的三维类似物，因此不存在规范的三维曼德博集合。可以使用四元数的4个维度构建曼德博集合。然而，这样构建的集合不能和二维的那样在所有尺度上表现细节。

怀特和尼兰德关于三维矢量$⟨x,y,z⟩$的$n$次方公式为

$⟨x,y,z{⟩}^n=r^n⟨\sin (n\theta )\cos (n\varphi ),\sin (n\theta )\sin (n\varphi ),\cos (n\theta )⟩$

其中

$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \varphi & =\arctan (y/x)=\arg (x+yi)\\ \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\theta & =\arctan (\sqrt{x^2+y^2}/z)=\arccos (z/r).\end{array}$

他们使用迭代$z\mapsto z^n+c$，其中“$z^n$”定义如上，“$+$”是矢量相加。当$n>3$，其结果是一个三维的球状物，有分形的表面和由参数$n$控制的叶子。他们的很多图形表现采用$n=8$的设置。

外部链接

• Mandelbulb: The Unravelling of the Real 3D Mandelbrot Fractal, on Daniel White's website Template:Wayback
• Several variants of the Mandelbulb, on Paul Nylander's website Template:Wayback
• An opensource fractal renderer that can be used to create images of the Mandelbulb Template:Wayback
• Formula for Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb by Jules Ruis Template:Wayback
• Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb with examples of real 3D objects Template:Wayback
• Video : View of the Mandelbulb Template:Wayback