牛奶凍曲線

牛奶凍函數的圖形

牛奶凍曲线（blancmange curve）又称为高木曲线，因為在1901年由高木貞治所研究。另外也稱为 Takagi-Landsberg 曲线，一種更一般化的曲線，以高木貞治和 Georg Landsberg 的名字命名。 牛奶凍曲線也是 de Rham 曲线的特例。

定義

定義域為單位區間的牛奶凍函數定義為

$b(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{s(2^{n}x)}{2^n},$

其中 $s$ 是三角波函數，定義為 $s(x)=\underset{n\in \mathbb{N}}{\min }|x-n|$。

而 Takagi–Landsberg 曲線的定義是更一般化的：

$T_w(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{w}^{n}s(2^{n}x),$

其中

$w$

是一個變數使

$|w|<1$

。

• 
  parameter w=2/3
• 
  parameter w=1/2
• 
  parameter w=1/3
• 
  parameter w=1/4
• 
  parameter w=1/8

性質

收斂與連續性

以$w$（$|w|<1$）為參數無限和$T_w(x)$對所有$x$絕對收斂：因為對所有$x\in ℝ$有$0\le s(x)\le 1/2$，從而

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|w^{n}s(2^{n}x)|\le \frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|w{|}^n=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-|w|}$。

以$w$為參數的$T_w(x)$也是連續的。因為可以如下證明$T_{w,n}(x)={\sum }_{k=0}^n{w}^{k}s(2^{k}x)$均勻收斂到$T_w$：

$|T_w(x)-T_{w,n}(x)|=|\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}{w}^{k}s(2^{k}x)|=|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{w}^{k}s(2^{k+n+1}x)|\le \frac{|w{|}^{n+1}}{2}\cdot \frac{1}{1-|w|}$ 對所有 $x\in ℝ$。

其值在$n$夠大時可以任意的小。再根據Template:Link-en，$T_w$連續。

次可加性

$T_w$具有次可加性。

拋物線

當$w=\frac{1}{4}$，$T_w$的圖形是拋物線，且用中點細分的構造方法曾被阿基米德描述。

可微性

對所有$0<w<1/2$，$T_w$在任意不是二进分数的$x\in ℝ$是可微的，且其結果是

${T_w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2w{)}^n(-1{)}^{x_{-n-1}},$

其中$(x_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}\in \{0,1{\}}^{\mathbb{Z}}$是$x$的二進位表達式的序列，也就是滿足$x=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{2}^n{x}_n$的序列。