曼德博集合

如果c点属于曼德博集合M则为黑色，反之为白色

曼德博集合（Template:Lang-en，或译為曼德布洛特复数集合）是一种在复平面上组成分形的点的集合，以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亚集合有些相似的地方，例如使用相同的复二次多项式來进行迭代。

定义

曼德博集合可以用複二次多项式来定义：

$f_c(z)=z^2+c$

其中 $c$ 是一个复数參数。

从 $z=0$ 开始对 $f_c(z)$ 进行迭代：

$z_{n+1}=z_n^2+c,n=0,1,2,...$

$z_0=0$

$z_1=z_0^2+c=c$

$z_2=z_1^2+c=c^2+c$

每次迭代的值依序如以下序列所示：

$(0,f_c(0),f_c(f_c(0)),f_c(f_c(f_c(0))),\dots )$

不同的参数 $c$ 可能使序列的绝对值逐漸發散到无限大，也可能收斂在有限的區域内。

曼德博集合 $M$ 就是使序列不延伸至无限大的所有复数 $c$ 的集合。

特性

• 自相似
• 面积为Template:Gaps

相關的定理

定理一

若 $|c|\le \frac{1}{4}$，則 $c\in M$

證明：

假設 $|c|\le \frac{1}{4}$ 為真

則$|z_1|=|c|\le \frac{1}{4}<\frac{1}{2}$

第一步：

當 $n=2$ 時

$|z_2|=|z_1^2+c|=|c^2+c|\le |c^2|+|c|=|c{|}^2+|c|$

因為 $|c|\le \frac{1}{4}$

$|c{|}^2+|c|\le \frac{1}{16}+\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$

由以上可得知 $|z_2|<\frac{1}{2}$

第二步：

假設 $|z_n|<\frac{1}{2}$ 成立

$|z_{n+1}|=|z_n^2+c|\le |z_n{|}^2+|c|<{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

由上式可得知 $|z_{n+1}|<\frac{1}{2}$

由數學歸納法可得知對於所有的n(n=1,2,...)，$|z_n|$ 皆比 $\frac{1}{2}$ 小。

當n趨近無限大時 $|z_n|$ 依然沒有發散，所以 $c\in M$，故得證。

定理二

若 $c\in M$，則 $|c|\le 2$

證明：

假設 $|c|>2$

則 $|z_1|=|c|,|z_1|>2$

第一步：

當 $n=2$ 時

$|z_2|=|z_1^2+c|=|c^2+c|\ge |c^2|-|c|=|c{|}^2-|c|$

由 $|c|>2$，左右同乘 $|c|$ 再減去 $|c|$ 可得到下式

$|c{|}^2-|c|>2|c|-|c|=|c|$

由以上可得知 $|z_2|>|c|$

第二步：

假設 $|z_n|>|c|$ 成立，則 $|z_n|>2$

$|z_{n+1}|=|z_n^2+c|\ge |z_n^2|-|c|=|z_n{|}^2-|c|$

因為 $|z_n|>|c|$

$|z_n{|}^2-|c|>|z_n{|}^2-|z_n|$

由 $|z_n|>2$，左右同乘 $|z_n|$ 再減去 $|z_n|$ 可得到下式

$|z_n{|}^2-|z_n|>2|z_n|-|z_n|=|z_n|$

由以上可得知 $|z_{n+1}|>|z_n|$

由數學歸納法可得知 $2<|z_1|<|z_2|<...<|z_n|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|$，可看出隨著迭代次數增加 $|z_n|$ 逐漸遞增並發散。

假如$|z_n|$不发散，则收敛于某个常数$a>|c|>2$,

由$|z_{n+1}|\ge |z_n{|}^2-|c|$ 再取极限得 $a\ge a^2-|c|$ 即 $a^2-a\le |c|$。

又 $a^2-a=a(a-1)\ge a>|c|$，矛盾，故$|z_n|$发散。

所以若 $|c|>2$，則 $c\notin M$，故得證。

定理三

若 $c\in M$，則 $|z_n|\le 2,(n=1,2,...)$

證明：

要證明若 $|z_n|>2,(n=1,2,...)$，則 $c\notin M$

首先分別探討 $|c|>2$ 與 $|c|\le 2$ 兩種情形

由定理二可知道 $|z_n|>2,(n=1,2,...)$ 且 $|c|>2$ 時， $c\notin M$。

接著要證明 $|c|\le 2$ 時的情況：

假設 $|z_n|>2$，因為 $|c|\le 2$ ，所以 $|z_n|>|c|$ ，而

$|z_{n+1}|=|z_n^2+c|\ge |z_n^2|-|c|=|z_n{|}^2-|c|$

因為 $|z_n|>|c|$

$|z_n{|}^2-|c|>|z_n{|}^2-|z_n|$

由 $|z_n|>2$，左右同乘 $|z_n|$ 再減去 $|z_n|$ 可得到下式

$|z_n{|}^2-|z_n|>2|z_n|-|z_n|=|z_n|$

由以上可得知 $|z_{n+1}|>|z_n|$

由數學歸納法可得知 $2<|z_n|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|<...$，可看出隨著迭代次數增加 $|z_n|$ 逐漸遞增並發散。

所以在 $|z_n|>2,(n=1,2,...)$ 且 $|c|\le 2$ 的情況下也是 $c\notin M$。

綜合上述可得知不論 $|c|$為多少

若 $|z_n|>2,(n=1,2,...)$，則 $c\notin M$，故得證。

利用定理三可以在程式計算時快速地判斷 $|z_n|$是否會發散。

计算的方法

曼德博集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件，例如Ultra fractal，内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码，表达了曼德博集合的计算思路。

For Each c in Complex
 repeats = 0
 z = 0
 Do
  z = z^2 + c
  repeats = repeats + 1
 Loop until abs(z) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根据定理三，EscapeRadius可设置为2。
 If repeats > MaxRepeats Then
  Draw c,Black                                            '如果迭代次数超过MaxRepeats，就将c认定为属于曼德博集合，并设置为黑色。
 Else
  Draw c,color(z,c,repeats)                               'color函数用来决定颜色。
 End If
Next

決定顏色的一些方法

1. 直接利用循环终止时的Repeats
2. 综合利用z和Repeats
3. Orbit Traps

Mathematica代码

mand = Compile[{{z0, _Complex}, {nmax, _Integer}}, 
   Module[{z = z0, i = 1}, 
    While[i < nmax && Abs[z] <= 2, z = z^2 + z0; i++]; i]];
ArrayPlot[
 Reverse@Transpose@
   Table[mand[x + y I, 500], {x, -2, 2, 0.01}, {y, -2, 2, 0.01}]]

各種圖示

Template:Commons File:Mandelbrotzoom Wiki h265 CRF04 20210412 006GANZ.webm

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