代數整數

在數學裡，代數整數（algebraic integer）是複數中的一类。一个複数α是代数整数当且仅当它是某个個整系數的首一多項式 $P (x)$ 的根。其中首一（英文：monic）意謂最高冪次項的系數是1。

因此，所有代數整數都是代數數，但並非所有代數數都是代數整數。所有代数整数构成一个环，通常记作 $𝔸$ 。

如果 $P (x)$ 是整係數本原多項式（即系數的最大公因数是1的多项式），但非首一多項式，則 $P$ 的根都不是代數整數。

定义

以下是代数整数四种相互等价的定义。设Template:Mvar为代数数域（有理数域 $ℚ$ 的有限扩张）。根据本原元定理，Template:Mvar可以写成 $K = ℚ (θ)$ 的形式。其中 $θ \in ℂ$ 是某个代数数。设有 $α \in K$ ，则Template:Mvar是代数整数当且仅当以下命题之一成立：

存在整系数多项式： $P = X^{m} + a_{1} X^{m - 1} + \dots + a_{m - 1} X + a_{m} \in ℤ [X]$ ，使得 $P (α) = 0$ 。
Template:Mvar在 $ℚ$ 上的极小首一多项式是整系数多项式。
$ℤ [α]$ 是有限生成的 $ℤ$ Template:Mvar 模。
存在有限生成的 $ℤ$ Template:Mvar子模： $M \subset ℂ$ ，使得 $α M \subseteq M$ 。

P (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{m} x^{m}

有一个根是有理数：

r = \frac{p}{q}

，其中p、q是互素的整数，那么必然有：分母q 整除

a_{m}

，以及分子p 整除

a_{0}

。因此，由于代数整数是某个首一多项式的根，如果它是有理数，那么它的分母整除多项式的最高冪次項，也就是说整除1。所以这个有理数的分母是1，即是说它是整数。反过来，所有的整数n都是整系数首一多项式

x - n

的根，所以是代数整数。

一个给定的代数数域 $𝕂$ 与 $𝔸$ 的交集称为这个数域的（代数）整数环，记作 $𝒪_{K}$ 。这个整数环中的代数整数不再只是整数。比如说，给定一个数域： $𝕂 = ℚ (\sqrt{2})$ ，那么对应的整数环中不仅有整数，还有 $\sqrt{2}$ ，因为 $\sqrt{2}$ 是首一多项式 $x^{2} - 2$ 的根。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 不是代数整数。这是因为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 在有理数域上的最小多项式是 $2 x^{2} - 1$ ，不是一个首一多项式。

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 是一个代数整数。它是多项式 $x^{2} - x - 1$ 的根。一般来说，如果整数 $d$ 除以4余1，那么 $\frac{1 + \sqrt{d}}{2}$ 也是代数整数，因为它是多项式 $x^{2} - x - \frac{d - 1}{4}$ 的根。

给定素数 Template:Mvar，Template:Mvar次单位根 $ζ_{p}$ 也是一个代数整数，因为是首一多项式 $x^{p} - 1 = 0$ 的根。实际上，Template:Mvar次分圆域 $ℚ (ζ_{p})$ 的整数环就是 $ℤ [ζ_{p}]$ 。