二次变差

在数学中，二次变差（Template:Lang-en）用于分析随机过程，例如布朗运动和鞅。二次变差是变差的一种。

定义

设$X_t$是定义在概率空间$(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$上的实值随机过程，时间t取非负实数。其二次变差也是一个随机过程，记做$[X{]}_t$，定义为

$[X{]}_t=\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}}{)}^2$

其中P取遍区间[0,t]所有的划分，范数$\Vert P\Vert$等于P中最长的子区间的长度，极限使用依概率收敛来定义。

更一般地，两个过程X和Y的协变差（或称互变差）为

$[X,Y{]}_t=\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}})$

用极化恒等式可以把协变差用二次变差表示出来

$[X,Y{]}_t=\frac{1}{2}([X+Y{]}_t-[X{]}_t-[Y{]}_t)$

有限变差过程

随机过程X如果在任意有限区间上都是有界变差的（以概率1成立），则称X是有限变差的。这样的过程非常常见，尤其是包括所有的连续可微函数。对所有的连续有限变差过程，二次变差都存在且等于0。

这个结论可以推广到不连续的情况。对右连左极的有限变差过程，其二次变差等于间断点处跳跃值的平方和。具体来说，记X在t处的左极限为$X_{t^{-}}$，X在t处的跳跃记为$\mathrm{\Delta }{X}_t=X_t-X_{t^{-}}$。则二次变差为

$[X{]}_t=\sum _{0<s\le t}(\mathrm{\Delta }{X}_s{)}^2$

要证明连续的有限变差过程的二次变差为0，需使用以下不等式，其中P是区间[0,t]的划分，$V_t(X)$是X在[0,t]上的变差。

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}}{)}^2& \le \underset{k\le n}{\max }|X_{t_k}-X_{t_{k-1}}|\sum _{k=1}^n|X_{t_k}-X_{t_{k-1}}|\\ & \le \underset{|u-v|\le \Vert P\Vert }{\max }|X_u-X_v|V_t(X)\\ \end{array}$

由X的连续性，这在$\Vert P\Vert$趋于0时的极限也趋于0。

伊藤过程

标准布朗运动的二次变差存在，为$[B{]}_t=t$。这可以推广到伊藤过程。根据定义，伊藤过程可以用伊藤积分表示为

$\begin{array}{cc}{X}_t& =X_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\sigma }_{s}d{B}_s+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mu }_{s}d[B{]}_s\\ & =X_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\sigma }_{s}d{B}_s+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mu }_{s}ds\\ \end{array}$

其中B是标准布朗运动。这样的过程，二次变差为

$[X{]}_t=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\sigma }_s^{2}ds$

半鞅

可以证明所有的半鞅都有二次变差和协变差。这是随机微积分理论的重要部分，出现在伊藤引理中。二次协变差也出现在分部积分公式中

$X_t{Y}_t=X_0{Y}_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{X}_{s^{-}}d{Y}_s+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_{s^{-}}d{X}_s+[X,Y{]}_t$

这可用来计算[X,Y]。

上式也可写成随机微分方程的形式：

$d{X}_t{Y}_t=X_{t^{-}}d{Y}_t+Y_{t^{-}}d{X}_t+d{X}_{t}d{Y}_t$

其中$d{X}_{t}d{Y}_t=d[X,Y{]}_t$

鞅

右连左极鞅和局部鞅的二次变差都有定义，因为它们都是半鞅。局部平方可积鞅M的二次变差[M]是从0开始的右连续的增过程，跳跃值$\mathrm{\Delta }[M]=\mathrm{\Delta }{M}^2$，使得$M^2-[M]$是局部鞅。Karandikar-Rao(2014)给出了[M]存在的一个证明（不使用随机微积分）。

平方可积鞅有一个有用的结论，可用来计算伊藤积分的变差

$𝔼{\left(\underset{0}{\overset{t}{\int }}HdM\right)}^2=𝔼\underset{0}{\overset{t}{\int }}{H}^{2}d[M]$

只要M是右连左极平方可积鞅且H是有界可预测过程，这个结论总是成立的，常用于构造伊藤积分。

还有一个重要结论是Burkholder-Davis-Gundy不等式，用二次变差给出了鞅的最大值的上下界。对从0开始的局部鞅，最大值记为$M_t^{*}\equiv \underset{s\le t}{\sup }|M_s|$，对任意实数$p\ge 1$

$c_p𝔼[M{]}_t^{p/2}\le 𝔼(M_t^{*}{)}^p\le C_p𝔼[M{]}_t^{p/2}$

式中$c_p\le C_p$是依赖于p的常数，但不依赖于选取的鞅M和时间t。若M是连续局部鞅，则不等式对任何p>0都成立。

另一种变差，可预测二次变差有时用于局部平方可积鞅，记做$⟨M{⟩}_t$，定义为从0开始的右连续且递增的可预测过程，使得$M^2-⟨M⟩$是局部鞅。其存在性可由Doob-Meyer分解定理得到。对连续局部鞅，可预测二次变差就等于二次变差。

另见

• 总变差
• 有界变差

参考资料

• Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
• Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). "On quadratic variation of martingales". Proceedings - Mathematical Sciences. 124 (3): 457–469.