极化恒等式

Template:Expand Template:Expand English 极化恒等式（英语：Polarization identity）是一个用范数来计算两个向量的内积的公式。

公式

设$x,y$是复Hilbert空间中的向量，则内积可表示为：

$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}({\Vert x+y\Vert }^2-{\Vert x-y\Vert }^2+i{\Vert x+iy\Vert }^2-i{\Vert x-iy\Vert }^2)$。

若$x,y$是实Hilbert空间中的向量，则内积可表示为：

$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}({\Vert x+y\Vert }^2-{\Vert x-y\Vert }^2)$。

推导

设有两个实Hilbert空间中的向量$x,y$，有

$(x+y{)}^2=x^2+y^2+2x\cdot y$

$(x-y{)}^2=x^2+y^2-2x\cdot y$

两式相减，得

$4x\cdot y=(x+y{)}^2-(x-y{)}^2$

所以

$x\cdot y=\frac{1}{4}[(x+y{)}^2-(x-y{)}^2]$

即
$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}({\Vert x+y\Vert }^2-{\Vert x-y\Vert }^2)$

参见

• 平行四邊形恆等式

参考文献

程其襄，张奠宙等.实变函数与泛函分析基础（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.7，241