伊藤引理

Template:NoteTA 在随机分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一条非常重要的性质。發現者為日本數學家伊藤清，他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。

伊藤引理较早版本

第一引理

对于布朗运动$W_t$和二次可导函数$f(x)$，以下等式成立：

$df(W_t)=f^{\prime }(W_t)d{W}_t+\frac{1}{2}{f}^{″}(W_t)dt$

其中過程：

$dtdt=0,dtd{W}_t=d{W}_{t}dt=0,d{W}_{t}d{W}_t=dt$

其主要可通过对多项式环到形式幂级数的拓展，例如：

$d{e}^{W_t^2}=2W_t{e}^{W_t^2}d{W}_t+(e^{W_t^2}+2W_t^2{e}^{W_t^2})dt$

第二引理

对于伊藤过程$X_t$和二次可导函数$f(t,x)$，以下等式成立

$df(t,X_t)=(\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2})dt+\frac{\partial f}{\partial x}d{X}_t$

第三引理

定义伊藤过程$X_t$为满足下列随机微分方程的随机过程

$d{X}_t={\mu }_{t}dt+{\sigma }_{t}d{W}_t$

对于伊藤过程$X_t$和二次可导函数$f(t,x)$，以下等式成立：

$df(t,X_t)=(\frac{\partial f}{\partial t}+{\mu }_t\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{1}{2}{\sigma }_t^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2})dt+{\sigma }_t\frac{\partial f}{\partial x}d{W}_t.$

类似地，定义多维伊藤过程${𝐗}_t=(X_t^1,X_t^2,\dots ,X_t^n{)}^T$使得

$d{𝐗}_t={\mathit{\mu }}_{t}dt+{𝐆}_{t}d{𝐁}_t$

其中${\mathit{\mu }}_t$为n维向量，${𝐆}_t$为n阶方块矩阵；有如下等式：

$\begin{array}{cc}df(t,{𝐗}_t)& =\frac{\partial f}{\partial t}dt+{\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}f\right)}^{T}d{𝐗}_t+\frac{1}{2}{\left(d{𝐗}_t\right)}^T\left(H_{𝐗}f\right)d{𝐗}_t,\\ & =\{\frac{\partial f}{\partial t}+{\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}f\right)}^T{\mathit{\mu }}_t+\frac{1}{2}\mathrm{Tr}\left[{𝐆}_t^T\left(H_{𝐗}f\right){𝐆}_t\right]\}dt+{\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐗}f\right)}^T{𝐆}_{t}d{𝐁}_t\end{array}$

其中，${\mathrm{\nabla }}_{𝐗}f$是Template:Math关于Template:Math的梯度，Template:Math 是Template:Math关于Template:Math的黑塞矩陣，Template:Math是跡的符号。

到半鞅的拓展

连续半鞅

$df(X_t)=\sum _{i=1}^d{f}_i(X_t)d{X}_t^i+\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^d{f}_{i,j}(X_t)d[X^i,X^j{]}_t.$

不连续半鞅

$\begin{array}{cc}f(X_t)=& f(X_0)+\sum _{i=1}^d\underset{0}{\overset{t}{\int }}{f}_i(X_{s-})d{X}_s^i+\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^d\underset{0}{\overset{t}{\int }}{f}_{i,j}(X_{s-})d[X^i,X^j{]}_s\\ & +\sum _{s\le t}(\mathrm{\Delta }f(X_s)-\sum _{i=1}^d{f}_i(X_{s-})\mathrm{\Delta }{X}_s^i-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^d{f}_{i,j}(X_{s-})\mathrm{\Delta }{X}_s^i\mathrm{\Delta }{X}_s^j).\end{array}$

泊松过程

我们也可以定义非连续随机过程的函数。

定义跳跃强度h，根据跳跃的泊松过程模型，在区间$[t,t+\mathrm{\Delta }t]$上出现一次跳跃的概率是$h\mathrm{\Delta }t$ 加上$\mathrm{\Delta }t$的高阶无穷小量。h可以是常数、显含时间的确定性函数，或者是随机过程。在区间$[0,t]$上没有跳跃的概率称为生存概率$p_s(t)$，其变化是：

$d{p}_s(t)=-p_s(t)h(t)dt.$

因此生存概率为：

$p_s(t)=\exp (-\underset{0}{\overset{t}{\int }}h(u)du).$

定义非连续随机过程$S(t)$，并把$S(t^{-})$记为从左侧到达t时S的值，记$d_{j}S(t)$是一次跳跃导致$S(t)$的非无穷小变化。有：

$d_{j}S(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }(S(t+\mathrm{\Delta }t)-S(t^{-}))$

$\eta (S(t^{-}),z)$是跳跃幅度z的概率分布，跳跃幅度的期望值是：

$E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))dt\underset{z}{\int }z\eta (S(t^{-}),z)dz.$

定义补偿过程和鞅$d{J}_S(t)$：

$d{J}_S(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-(h(S(t^{-}))\underset{z}{\int }z\eta (S(t^{-}),z)dz)dt.$

因此跳跃的非无穷小变化，也就是随机过程的跳跃部分可以写为：

$d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+d{J}_S(t)=h(S(t^{-}))(\underset{z}{\int }z\eta (S(t^{-}),z)dz)dt+d{J}_S(t).$

因此如果随机过程$S$同时包含漂移、扩散、跳跃三部分，可以写为：

$dS(t)=\mu dt+\sigma dW(t)+d_{j}S(t).$

考虑其函数$g(S(t),t)$。$S(t)$跳跃$\mathrm{\Delta }s$的幅度，会导致$g(t)$跳跃$\mathrm{\Delta }g$幅度。$\mathrm{\Delta }g$取决于g的跳跃分布${\eta }_g()$，有可能依赖于跳跃前的函数值$g(t^{-})$，函数微分dg以及跳跃前的自变量值$S(t^{-})$。$g$的跳跃部分是：

$\begin{array}{cc}g(t)-g(t^{-})& =h(t)dt\underset{\mathrm{\Delta }g}{\int }\mathrm{\Delta }g{\eta }_g(\cdot )d\mathrm{\Delta }g+d{J}_g(t).\end{array}$

函数$g(S(t),t)$的伊藤引理是：

$\begin{array}{cc}dg(t)& =(\frac{\partial g}{\partial t}+\mu \frac{\partial g}{\partial S}+\frac{1}{2}{\sigma }^2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial S^2}+h(t)\underset{\mathrm{\Delta }g}{\int }(\mathrm{\Delta }g{\eta }_g(\cdot )d\mathrm{\Delta }g))dt+\frac{\partial g}{\partial S}\sigma dW(t)+d{J}_g(t).\end{array}$

可以看到，漂移-扩散过程与跳跃过程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。

应用例子

布莱克-舒尔兹模型

伊藤引理可以用于推导布莱克-舒尔兹模型。假设一支股票的价格服从几何布朗运动$dS=\mu Sdt+\sigma SdW$，且其期权的价格是股票价格和时间的函数$V=f(t,S)$。根据伊藤引理，有

$df=(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu S\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial S^2})dt+\sigma S\frac{\partial f}{\partial S}dW$

整理可得

$df=(\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial S^2})dt+\frac{\partial f}{\partial S}dS$

式中$\frac{\partial f}{\partial S}dS$项表明期权价格的波动等于持有$\frac{\partial f}{\partial S}$单位股票时的波动。在这个对应下，现金的部分应该以无风险利率$r$增长，即

$df=r(f-S\frac{\partial f}{\partial S})dt+\frac{\partial f}{\partial S}dS$

比较两式$dt$项的系数，可得

$\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial S^2}+rS\frac{\partial f}{\partial S}-rf=0$

参看

• 费曼－卡茨公式

參考資料

• Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
• PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
• Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy