右连左极函数

Template:Rough translation Template:NoteTA 在数学中，右连左极函数（càdlàg，RCLL）是指定义在实数集或其子集上的处处右连续且有左极限的函数。这类函数在研究有跳跃甚至是需要跳跃的随机过程时很重要，这类随机过程不像布朗运动具有连续的样本轨道。给定定义域上的右连左极函数的集合称为斯科罗霍德空间（Skorokhod space）。

定义

累积分布函数是右连左极函数的一个例子。

令$(M,d)$为度量空间，并令$E\subseteq ℝ$。函数$f:E\to M$称为右连左极函数。若对于每一$t\in E$，都有

• 左极限$f(t-):=\underset{s\uparrow t}{\lim }f(s)$存在；且
• 右极限$f(t+):=\underset{s\downarrow t}{\lim }f(s)$存在并等於$f(t)$，

即$f$ 是右连续的且有左极限。

例子

• 全部连续函数都是右连左极函数。
• 由累积分布函数的定义知所有的累积分布函数都是右连左极函数。

斯科罗霍德空间

从$E$到$M$的所有右连左极函数的集合常记为$D(E;M)$或简记为$D$，称为斯科罗霍德空间，是以乌克兰数学家阿纳托利·斯科罗霍德（Anatoliy Skorokhod）的名字命名。斯科罗霍德空间可以被指派一个拓撲結構，这一拓扑直觉上能使我们“稍微蠕动空间和时间”（而传统的一致收斂拓扑仅允许我们“稍微蠕动空间”）。为了简化说明，取$E=[0,T]$，$M={ℝ}^n$（Billingsley的书中描述了更一般的拓扑）

首先我们必须定义连续性模的一个模拟$\varpi {\text{'}}_f(\delta )$。对於任意$F\subseteq E$，使

$w_f(F):=\underset{s,t\in F}{\sup }|f(s)-f(t)|$

且对於$\delta >0$，将右连左极函数模（càdlàg modulus）定义为

$\varpi {\text{'}}_f(\delta ):=\underset{\mathrm{\Pi }}{\inf }\underset{1\le i\le k}{\max }{w}_f([t_{i-1},t_i)),$

其中最大下界对所有划分$\mathrm{\Pi }=\{0=t_0<t_1<\dots <t_k=T\}$，$k\in \mathbb{N}$都存在，且$\underset{i}{\max }(t_i-t_{i-1})<\delta$。这一定义对於非右连左极函数$f$是有意义的（就如通常的连续性模对於不连续函数是有意义的）且可以说明$f$是右连左极函数当且仅当$\delta \to 0$时$\varpi {\text{'}}_f(\delta )\to 0$。

这是令$\mathrm{\Lambda }$表示从$E$到自身的所有严格递减的连续双射函数的集合（这些函数是“对时间的蠕动”）。令

$\Vert f\Vert :=\underset{t\in E}{\sup }|f(t)|$

表示$E$上的函数的一致范数。将$D$ 上的斯科罗霍德度量（Skorokhod metric）$\sigma$定义为

$\sigma (f,g):=\underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{\inf }\max \{\Vert \lambda -I\Vert ,\Vert f-g\circ \lambda \Vert \},$

其中$I:E\to E$是恆等函數。以“蠕动”这种直观感觉来看，$\Vert \lambda -I\Vert$度量了“时间的蠕动”，而$\Vert f-g\circ \lambda \Vert$度量了“空间的蠕动”。

我们可以证明斯科罗霍德度量度量的确是度量。由$\sigma$生成的拓扑$\mathrm{\Sigma }$称为$D$上的斯科罗霍德拓扑（Skorokhod topology）。

斯科罗霍德空间的性质

一致拓扑的一般化

E 上的连续函数空间C 是D 的一个子空间。相对应於C 斯科罗霍德拓扑与这里所述的一致拓扑相一致。

完备性

虽然D 不是关於斯科罗霍德度量σ 的一个完备空间，但是可以证明存在具完备性的关於D 的拓扑等价度量 σ₀ 。

分离性

关於σ 或σ₀ 的D 是可分空间，因此斯科罗霍德空间是波蘭空間。

斯科罗霍德空间中的胎紧性

通过应用阿尔泽拉－阿斯科利定理，我们可以证明斯科罗霍德空间D 上概率测度的一个序列$({\mu }_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$是胎紧的当且仅当同时满足下列两个条件：

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\mu }_n\{f\in D|\Vert f\Vert \ge a\}=0,$

和

$\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\mu }_n\{f\in D|\varpi {\text{'}}_f(\delta )\ge \epsilon \}=0\text{ for all }\epsilon >0.$

代数结构与拓扑结构

在斯科罗霍德拓扑和函数的逐点加法下，D 不是一个拓扑群。

参考文献

• Template:Cite book
• Template:Cite book