二年級之夢

Template:Refimprove 二年級之夢(sophomore's dream)是約翰·白努利於1697年發現的兩條有趣的數學恆等式。

$$\begin{array}{cccc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^x}\mathrm{d}x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^n}& & (=1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots )\\ \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^x\mathrm{d}x& =-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{-n}& & (=0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots )\end{array}$$

名稱來自於與之相對的一年級之夢，也就是「 Template:Nowrap 」。兩個夢都帶有數學嚇人的簡單表達方式，然而一年級之夢為錯誤的方程式，因為只要將 $n=2$ 帶入就會發現無法形成等式；但是二年級之夢卻是正確的式子。

證明

在座標上，兩公式的關係。

第一條公式，首先利用對數轉換和積分與級數順序變化：

• 對數轉換 $x^{-x}=e^{-x(\ln x)}$
• 指數函數的泰勒展開式 $e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

得到 $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{-x}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-x\ln x{)}^n}{n!}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{(-\ln x{)}^n*x^n}{n!}dx.$

在上式中我們利用了幂級數的均勻收斂性，以交換求和運算及積分運算

設 $u=-(n+1)\ln x$

則 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{(-\ln x{)}^n{x}^n}{n!}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}\frac{u^n{e}^{-nu}}{n!}(-e^{-u})du=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u^n{e}^{-nu}}{n!}(e^{-u})du$

再設 $v=(n+1)u$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u^n{e}^{-nu}}{n!}(e^{-u})du=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!(n+1{)}^{n+1}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{v}^n{e}^{-v}dv$

根據Γ函數， $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{v}^n{e}^{-v}dv=\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$

最終推得 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!(n+1{)}^{n+1}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{v}^n{e}^{-v}dv=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+1{)}^{n+1}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^n}$ 若則積函數為$x^x$，則可用同法推得$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(n+1{)}^{n+1}}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^n}$

關聯條目

• 菲涅耳積分