菲涅耳積分

菲涅耳積分，常被寫作 S(x)和C(x)。以奧古斯丁·菲涅耳為名。

定義

菲涅耳積分可由下面兩個級數求得，對所有x均收斂。

S (x) = \int_{0}^{x} \sin (t^{2}) d t = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{4 n + 3}}{(2 n + 1)! (4 n + 3)},

C (x) = \int_{0}^{x} \cos (t^{2}) d t = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{4 n + 1}}{(2 n)! (4 n + 1)} .

C和S的值當變數趨近於無窮大時，可用複變分析的方法求得。用以下這個函數的路徑積分：

e^{- z^{2}}

在複數平面上的一個扇型的邊界，其中下邊繞著正x軸，上半邊是沿著y = x, x ≥ 0的路徑，外圈則是一個半徑為R，中心在原點的弧形。

當R趨近於無窮大時，路徑積分沿弧形的部分將趨近於零^[1]，而實數軸部分的積分將可由高斯積分

\int_{y - a x i s}^{} e^{- z^{2}} d z = \int_{0}^{\infty} e^{- t^{2}} d t = \frac{\sqrt{π}}{2},

並且經過簡單的計算後，第一象限平分線的那條積分便可以變成菲涅耳積分。

\int_{s l o p e}^{} \exp (- z^{2}) d z = \int_{0}^{\infty} \exp (- t^{2} e^{i π / 2}) e^{i π / 4} d t = e^{i π / 4} (\int_{0}^{\infty} \cos (- z^{2}) d z + i \int_{0}^{\infty} \sin (- z^{2}) d z)

\int_{0}^{\infty} \cos t^{2} d t = \int_{0}^{\infty} \sin t^{2} d t = \frac{\sqrt{2 π}}{4} = \sqrt{\frac{π}{8}} .

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↑ Abromowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions,p303-305, 1972 Natinal Bureau of Standards