佩龙公式

Template:多個問題 在数学或更具体地，其分支解析数论中，佩龙公式（Template:Lang-en）源自德國數學家奥斯卡·佩龙，是利用逆梅林变换来计算算术函数的和。

定理陈述

令 $\{a(n)\}$ 为一算术函数，并令

$g(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(n)}{n^s}$

为其对应的狄利克雷级数。假设这狄利克雷级数对 $\mathrm{\Re }(s)>\sigma$ 一致收敛，那么佩龙公式为：

$A(x)=\sum _{n^{\prime }\le x}a(n)=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}g(z)\frac{x^z}{z}dz.$

此处求和符号上的一撇表示当x是整数时，和式中最后一项要乘以1/2。这个积分不是收敛的勒贝格积分，应当理解为柯西主值。这个公式要求 c > 0, c > σ 和实数x > 0，但除以上条件以外别无限制。

证明

用阿贝尔求和公式可以得到一个简单的证明梗概：

$g(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(n)}{n^s}=s\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}A(x)x^{-(s+1)}dx.$

这不过是在变量代换$x=e^t$下的拉普拉斯变换，运用拉普拉斯变换的反转公式就能得到佩龙公式。

例子

由于和狄利克雷级数的关系，佩龙公式常被用于解析数论中的求和。例如我们对黎曼ζ函数有如下的著名积分表示：

$\zeta (s)=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}dx.$

对于狄利克雷L函数也有类似的公式：

$L(s,\chi )=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{A(x)}{x^{s+1}}dx,$

其中

$A(x)=\sum _{n\le x}\chi (n)$

和 $\chi (n)$ 是狄利克雷特征.

参考文献

• 第243页，Template:Cite book
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