柯西主值

Template:Unreferenced 在微積分中，柯西主值是為某類原來發散的反常積分指派特定數值的方式，為紀念數學家柯西而得此名。

第一類反常積分

第一類反常積分，稱為無窮積分，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。

設函數 Template:Math 在 Template:Math 上連續且可積。可定義以下第一類反常積分：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{u\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{u}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{v\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{c}{\overset{v}{\int }}f(x)dx$，

其中 Template:Math 是區間上任意一點。

上式中兩個極限皆收斂，這反常積分才定義為收斂。若任意其一發散，則此積分發散。在這裡，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。但在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同，即：

$\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-R}{\overset{R}{\int }}f(x)dx$。

若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說：

$\begin{array}{cc}\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xdx& =\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-R}{\overset{R}{\int }}xdx\\ & =\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_{-R}^R\\ & =\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{R^2}{2}-\frac{R^2}{2})\\ & =0\end{array}$

根據定義，若無窮積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但無窮積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

第二類反常積分

第二類反常積分，稱為瑕積分，指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。

設函數 Template:Math 在 Template:Math 上連續且可積，但在點 Template:Math 及 Template:Math 不連續。可定義以下第二類反常積分：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{u\to a^{+}}{\lim }\underset{u}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{v\to b^{-}}{\lim }\underset{c}{\overset{v}{\int }}f(x)dx$，

其中 Template:Math 是區間上任意一點。

設函數 Template:Math 在 Template:Math 及 Template:Math上連續且可積，但在點 Template:Math 不連續。可定義以下第二類反常積分：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx=\underset{u\to c^{-}}{\lim }\underset{a}{\overset{u}{\int }}g(x)dx+\underset{v\to c^{+}}{\lim }\underset{v}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$。

同樣地，上式中兩個極限皆收斂，這反常積分才定義為收斂。若任意其一發散，則此積分發散。在這裡，兩個極限的收斂速度可能不同。但在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同，即：

$\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\underset{a+\epsilon }{\overset{b-\epsilon }{\int }}f(x)dx$；

$\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }[\underset{a}{\overset{c-\epsilon }{\int }}g(x)dx+\underset{c+\epsilon }{\overset{b}{\int }}g(x)dx]$。

若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。

根據定義，若瑕積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但瑕積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。

對於區間上有多個不連續點的積分，可由類似方式定義廣義的柯西主值。

混合反常積分

有些時候，無窮積分和瑕積分能同時出現。設函數 Template:Math 在 Template:Math 及 Template:Math上連續且可積，但在點 Template:Math 不連續。我們能用以下方式計算其柯西主值：

$\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }[\underset{c-\frac{1}{\epsilon }}{\overset{c-\epsilon }{\int }}f(x)dx+\underset{c+\epsilon }{\overset{c+\frac{1}{\epsilon }}{\int }}f(x)dx]$。

計算問題

在計算積分的柯西主值時，使用換元積分法可能會導致歧義。例如在計算 $\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\frac{10+4x}{x^3(5+x{)}^3}dx$ 時，

$\begin{array}{cc}\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\frac{10+4x}{x^3(5+x{)}^3}dx& =\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\frac{10+4x}{x^3(5+x{)}^3}dx+\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{10+4x}{x^3(5+x{)}^3}dx\\ & =\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }(\underset{-2}{\overset{-\epsilon }{\int }}\frac{10+4x}{x^3(5+x{)}^3}dx+\underset{\epsilon }{\overset{1}{\int }}\frac{10+4x}{x^3(5+x{)}^3}dx)\\ & =\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }({[-\frac{1}{x^2(5+x{)}^2}]}_{-2}^{-\epsilon }+{[-\frac{1}{x^2(5+x{)}^2}]}_{\epsilon }^1)\\ & =\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }(-\frac{1}{{\epsilon }^2(5-\epsilon {)}^2}+\frac{1}{4(5-2{)}^2}-\frac{1}{(5+1{)}^2}+\frac{1}{{\epsilon }^2(5+\epsilon {)}^2})\\ & =\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\frac{-20\epsilon }{{\epsilon }^2(5-\epsilon {)}^2(5+\epsilon {)}^2}\\ & =-\mathrm{\infty }\end{array}$

但若使用換元 $u=5x+x^2$ ， $du=(5+2x)dx$ ，

$\begin{array}{cc}\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\frac{10+4x}{x^3(5+x{)}^3}dx& =\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{-6}{\overset{6}{\int }}\frac{2}{u^3}du\\ & =\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{-6}{\overset{0}{\int }}\frac{2}{u^3}du+\mathrm{P}\mathrm{V}\underset{0}{\overset{6}{\int }}\frac{2}{u^3}du\\ & =\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }(\underset{-6}{\overset{-\epsilon }{\int }}\frac{2}{u^3}du+\underset{\epsilon }{\overset{6}{\int }}\frac{2}{u^3}du)\\ & =\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }({[-\frac{1}{u^2}]}_{-6}^{-\epsilon }+{[-\frac{1}{u^2}]}_{\epsilon }^6)\\ & =\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }(-\frac{1}{{\epsilon }^2}+\frac{1}{36}-\frac{1}{36}+\frac{1}{{\epsilon }^2})\\ & =0\end{array}$

在上面的兩個結果中，第一個才是正確的。第二個計算方式中，由於使用換元取代時，兩個極限的收斂速度改變了。當兩者的改變不對稱時，就會得到不一樣的結果。要避免這樣的情形，我們應避免使用換元取代的方法求柯西主值。

名稱和記號

有些作者會把柯西主值直接叫作「主值」(principal value)。但這和多值函數的主值是沒有關係的。

不同作者會使用不同的記號表示積分的柯西主值。以下是常見的記號：

$\mathrm{P}\mathrm{V}\int f(x)dx$、

$\mathrm{p}\mathrm{.}\mathrm{v}\mathrm{.}\int f(x)dx$、

$-\int f(x)dx$。

參考文獻

• 歐陽光中、朱學炎、陳傳璋 (2007)。《數學分析（下冊）》。第三版。高等教育出版社。ISBN 978-7-04-020743-9。
• Weisstein, Eric W. Improper Integral. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. -{R|http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html}- Template:Wayback
• Weisstein, Eric W. Cauchy Principal Value. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. -{R|http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html}- Template:Wayback
• Dave Rusin's webpage. Cauchy Principal Value. The Department of Mathematics, the University of Texas. -{R|http://www.math.utexas.edu/users/rusin/408D-12b/CPV.pdf}-.

參見

• 積分
• 極限
• 反常積分