泰勒级数

在数学中，泰勒级数（Template:Lang-en）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英國数学家布魯克·泰勒（Template:Lang）来命名的。Template:Vanchor，以苏格兰数学家科林·麦克劳林（Template:Lang）的名字命名。

拉格朗日在1797年之前，最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。实际应用中，泰勒级数需要截断，只取有限项，可以用泰勒定理估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限（如果存在极限）。即使泰勒级数在每点都收敛，函数与其泰勒级数也可能不相等。在开区间（或复平面上的开区间）上，与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数。

定义

在数学上，对于一个在实数或复数$a$邻域上，以实数作为变量或以复数作为变量的函数，并且是无穷可微的函数$f(x)$，它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数：

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

这里，$n!$表示$n$的阶乘，而$f^{(n)}(a)$表示函数$f$在点$a$处的$n$阶导数。如果$a=0$，也可以把这个级数称为麦克劳林级数。

解析函數

柯西在1823年指出函數$\exp (-\frac{1}{x^2})$在$x=0$无法被解析。

如果泰勒级数对于区间$(a-r,a+r)$中的所有$x$都收敛并且级数的和等于$f(x)$，那么我们就称函数$f(x)$为解析形的函数（analytic）。一个函数当且仅当（简单地说，“只有在且只要在”）能够被表示为幂级数的形式时，才是解析形的函数。通常会用泰勒定理来估计级数的餘项，这样就能够确定级数是否收敛于$f(x)$。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

以下三个事实可以说明为什么泰勒级数是十分重要的：

1. 可以逐项对幂级数的计算微分和积分，因此求和函数相对比较容易。
2. 数学家因此能够在复数平面上研究函数，因为一个解析函数，也可以被定义为在复平面中一个开放的区间内的解析函数(在区间内每一个点上都能被微分的函数)。
3. 可用泰勒级数估计，在某一点上函数会计算出什么值。

对于一些无穷的可以被微分函数$f(x)$，虽然它们的展开式会收敛，但是并不等于$f(x)$。例如，分段函数$f(x)=\exp (-\frac{1}{x^2})$，如果$x\ne 0$并且$f(0)=0$，则$x=0$时所有的导数都为零，所以这个$f(x)$的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，不过函数$f(x)$仅在$x=0$处为零。但是，在以复数作为变量的函数中这个问题并不存在，因为当$z$沿虚轴趋于零，$\exp (-\frac{1}{z^2})$并不趋于零。

如果一个函数在某处引发一个奇点，它就无法被展开为泰勒级数，不过如果变量$x$是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，虽然在$x=0$的时候，$f(x)=\exp (-\frac{1}{x^2})$会引发奇点，但仍然能够把这个函数展开为一个洛朗级数。

最近，专家们发现了一个用泰勒级数来求解微分方程的方法——Template:En-link。用皮卡反覆運算便可以推导出这个方法。

常用的函数:麦克劳林級數

在复平面上餘弦函數的實數部分。

在复平面上餘弦函數的第八度逼近

兩個以上的曲線放在一起

下面我们给出了几个重要的麦克劳林级数。当变量$x$是复数时，这些等式依然成立。

几何级数

Template:MAIN 由无穷递缩等比数列求和式:$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots \mathrm{\forall }x:\left|x\right|<1$

二项式级数

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+\cdots$

$\mathrm{\forall }x:\left|x\right|<1,\mathrm{\forall }\alpha \in ℂ$

二项式系数$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\prod _{k=1}^n\frac{\alpha -k+1}{k}=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}$。

指数函数和自然对数

以$e$为底数的指数函数的麦克劳林級數是

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots \mathrm{\forall }x$ （对所有X都成立）

以$e$为底数的自然对数的麦克劳林級數是

$\ln (1-x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots -\frac{x^n}{n}-\cdots \mathrm{\forall }x\in [-1,1)$ （对于在区间[-1,1)内所有的X都成立）

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n+\cdots \mathrm{\forall }x\in (-1,1]$ （对于在区间(-1,1]内所有的X都成立）

三角函数

常用的三角函数可以被展开为以下的麦克劳林級數：

$\begin{array}{cccccc}\sin x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}& & =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots & & \mathrm{\forall }x\\ \cos x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}& & =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots & & \mathrm{\forall }x\\ \tan x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n-1)!}{x}^{2n-1}& & =x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots & & \mathrm{\forall }x:|x|<\frac{\pi }{2}\\ \sec x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}& & =1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots & & \mathrm{\forall }x:|x|<\frac{\pi }{2}\\ \arcsin x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}& & =x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots & & \mathrm{\forall }x:|x|\le 1\\ \arccos x& =\frac{\pi }{2}-\arcsin x\\ & =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}& & =\frac{\pi }{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}+\cdots & & \mathrm{\forall }x:|x|\le 1\\ \arctan x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}& & =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots & & \mathrm{\forall }x:|x|\le 1,x\ne \pm i\end{array}$

在$\tan (x)$展开式中的B_k是伯努利数。在$\sec (x)$展开式中的E_k是欧拉数。

双曲函数

$\sinh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}\mathrm{\forall }x$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n)!}{x}^{2n}\mathrm{\forall }x$

$\tanh x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}{4}^n(4^n-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}\mathrm{\forall }x:\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

${\sinh }^{-1}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\mathrm{\forall }x:\left|x\right|<1$

${\tanh }^{-1}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}{x}^{2n+1}\mathrm{\forall }x:\left|x\right|<1$

$\tanh (x)$展开式中的B_k是伯努利数。

朗伯W函数

$W_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{x}^n\mathrm{\forall }x:\left|x\right|<\frac{1}{e}$

多元函数的展开

泰勒级数可以推广到有多个变量的函数： $\sum _{n_1=0}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{n_d=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\partial }^{n_1+\cdots +n_d}}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\frac{f(a_1,\cdots ,a_d)}{n_1!\cdots n_d!}(x_1-a_1{)}^{n_1}\cdots (x_d-a_d{)}^{n_d}$

历史

希腊哲学家芝诺在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 - 芝诺悖论。后来，亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，但德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究，此部分数学内容才得到解决。 正是用了阿基米德的穷竭法才使得一个无穷级数被逐步的细分，得到了有限的结果。几个世纪之后，中国数学家刘徽也独立提出了类似的方法。

进入14世纪，Template:Link-en最早使用了泰勒级数以及相关的方法。尽管他的数学著作没有流传下来，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦、余弦、正切、和反正切三角函数等等。之后，Template:Link-en在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，这些工作一直持续到16世纪。

到了17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。但是直到1715年，布鲁克·泰勒 提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是泰勒级数的特例，是爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授在18世纪发表的，并以其名字命名。

與牛頓插值公式的淵源

《自然哲學的數學原理》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N，對應著6個值A,B,C,D,E,F，生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值，計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由“牛頓前向差分方程”的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續“泰勒展開”的離散對應。

差分

Template:Main 對於x值間隔為非一致步長，牛頓計算均差，對x值間隔為單位步長1或一致但非單位量的情況，計算差分，前向差分的定義為：

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Delta }}_h^1[f](x)& =f(x+h)-f(x)\\ {\mathrm{\Delta }}_h^n[f](x)& ={\mathrm{\Delta }}_h^{n-1}[f](x+h)-{\mathrm{\Delta }}_h^{n-1}[f](x)\\ \end{array}$

插值公式

Template:Seealso 牛頓前向差分插值公式為：

$\begin{array}{cc}f(x)& =f(a)+\frac{x-a}{h}({\mathrm{\Delta }}_h^1[f](a)+\frac{x-a-h}{2h}({\mathrm{\Delta }}_h^2[f](a)+\cdots ))\\ & =f(a)+\sum _{k=1}^n\frac{{\mathrm{\Delta }}_h^k[f](a)}{k!h^k}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\ \end{array}$

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。

無窮級數

牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了$\ln (1+x)$的無窮級數，在1666年得出了$\arcsin (x)$和$\arctan (x)$的無窮級數，在1669年的《分析學》中發表了$\sin (x)$、$\cos (x)$、$\arcsin (x)$和$e^x$的無窮級數；萊布尼茨在1673年大概也得出了$\sin (x)$、$\cos (x)$和$\arctan (x)$的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa Template:Wayback》中研討了有限差分方法，其中論述了他在1712年得出的泰勒定理，這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出，而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差分的步長取趨於$0$的極限，得出：

$\begin{array}{cc}f(x)& =f(a)+\underset{h\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{\Delta }}_h^k[f](a)}{k!h^k}\prod _{i=0}^{k-1}((x-a)-ih)\\ & =f(a)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d^k}{d{x}^k}f(a)\frac{(x-a{)}^k}{k!}\\ \end{array}$

參見

• 無窮級數
• 牛頓多項式
• 冪級數
• 光滑函數
• 帕德近似
• 泰勒公式