帕德近似

亨利·帕德

帕德近似（Template:Lang-en）是法国数学家亨利·帕德发明的有理多项式近似法。帕德近似往往比截断的泰勒級數准确，而且当泰勒级数不收敛时，帕德近似往往仍可行，所以多用于在计算机数学中。

例如$\frac{1}{1-x}$的泰勒级数

$1+x+x^2+x^3+\cdots$只有在$-1<x<1$时收敛，不如原函数广泛。

定义

给定自然数m和正整数n, 函数 $f(x)$的[m,n]阶帕德近似为

$$R(x)=\frac{\sum _{j=0}^m{a}_j{x}^j}{1+\sum _{k=1}^n{b}_k{x}^k}=\frac{a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_m{x}^m}{1+b_{1}x+b_2{x}^2+\cdots +b_n{x}^n}$$

并且

$$\begin{array}{ccc}f(0)& =& R(0)\\ f^{\prime }(0)& =& R^{\prime }(0)\\ f^{″}(0)& =& R^{″}(0)\\ & ⋮& \\ f^{(m+n)}(0)& =& R^{(m+n)}(0)\end{array}$$

对于给定的$m,n$函数$f(x)$的[m,n]阶帕德近似是唯一的。

函数$f(x)$的帕德近似记为

$$[m/n{]}_f(x).$$

例子

正弦函數

$$[6/6{]}_{\sin (x)}=\frac{(12671/4363920)\ast x^5-(2363/18183)\ast x^3+x}{1+(445/12122)\ast x^2+(601/872784)\ast x^4+(121/16662240)\ast x^6}$$

$[6/6{]}_{\sin (x)}$的6+6=12阶泰勒级数展开为

$$x-(1/6)\ast x^3+(1/120)\ast x^5-(1/5040)\ast x^7+(1/362880)\ast x^9-(1/39916800)\ast x^{11}+O(x^{13})$$ 和$\sin (x)$的12阶泰勒级数全同：

$$\sin (x)\approx x-(1/6)\ast x^3+(1/120)\ast x^5-(1/5040)\ast x^7+(1/362880)\ast x^9-(1/39916800)\ast x^{11}+O(x^{13})$$

指数函数

$$[5/5{]}_{exp(x)}=\frac{1+(1/9)\ast x^2+(1/2)\ast x+(1/72)\ast x^3+(1/1008)\ast x^4+(1/30240)\ast x^5}{1+(1/9)\ast x^2-(1/2)\ast x-(1/72)\ast x^3+(1/1008)\ast x^4-(1/30240)\ast x^5}$$ 其泰勒级数为 $$1+x+(1/2)\ast x^2+(1/6)\ast x^3+(1/24)\ast x^4+(1/120)\ast x^5+(1/720)\ast x^6+(1/5040)\ast x^7+(1/40320)\ast x^8+(1/362880)\ast x^9+(1/3628800)\ast x^{10}+(23/914457600)\ast x^{11}+O(x^{12})$$

与exp(x)本身的泰勒级数展开的前10阶完全等同： $$1+x+(1/2)\ast x^2+(1/6)\ast x^3+(1/24)\ast x^4+(1/120)\ast x^5+(1/720)\ast x^6+(1/5040)\ast x^7+(1/40320)\ast x^8+(1/362880)\ast x^9+(1/3628800)\ast x^{10}+(1/39916800)\ast x^{11}+O(x^{12})$$

又如

$$f:=\frac{1-\cos (2\ast x{)}^2}{1+\arctan (3\ast x)}$$

$$[3/3{]}_{f(x)}=\frac{(64/75)\ast x^3+4\ast x^2}{1+(241/75)\ast x+(148/75)\ast x^2-(1061/225)\ast x^3}$$

雅可比橢圓函數 $\mathrm{sn}(x;3)$

$$\frac{-(9853969/39583665)\ast z^5-(1493060/2638911)\ast z^3+z}{1+(968375/879637)\ast z^2-(1167506/7916733)\ast z^4+(867043/2159109)\ast z^6}$$

第一類 5 階貝塞爾函數 $J_5(x)$

$$\frac{-(107/28416000)\ast x^7+(1/3840)\ast x^5}{1+(151/5550)\ast x^2+(1453/3729600)\ast x^4+(1339/358041600)\ast x^6+(2767/120301977600)\ast x^8}$$

误差函数

$$\frac{(2/15)\ast (49140\ast x+3570\ast x^3+739\ast x^5)}{(165\ast \sqrt{\pi }\ast x^4+1330\ast \sqrt{\pi }\ast x^2+3276\ast \sqrt{\pi })}$$

菲涅耳積分 $C(x)$

$$\frac{(1/135)\ast (990791\ast x^9\ast {\pi }^4-147189744\ast x^5\ast {\pi }^2+8714684160\ast x)}{(1749\ast {\pi }^4\ast x^8+523536\ast {\pi }^2\ast x^4+64553216)}$$

Maple计算

Maple中

pade(f(x),x,[m,n]);

其中 m,n 分别表示 分子、分母的级数；

参考文献

• Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
• Baker, G. A., Jr. Padé approximant Template:Wayback, Scholarpedia Template:Wayback, 7(6):9756.
• Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods.= Theory and Practice. North-Holland, 1991
• Template:Citation
• Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
• Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1–62.
• Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, [Ann. \'Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1–93 supplement.
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